Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона, то уравнение касательной у = k х + b к кривой дифференцируемой функции у = f(x) в точке хо можно записать следующим образом:
у = у'{х0) • х + Ь.
Если касательную к кривой в некоторой точке провести невозможно, то это означает, что функция недифференцируема в этой точке.
Механический смысл производной. Для функции у = f{x), меняющейся со временем х, производная у' = f'(xo) есть скорость изменения у в момент хо.
ЛЕЙБНИЦ (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1646-1716) — немецкий философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, экономист, дипломат, языковед, член Лондонского королевского общества и Парижской Академии наук, основатель Берлинской Академии наук. Родился в Лейпциге. В 17 лет защитил диссертацию на степень бакалавра, в 18 лет — магистра философии и в 20 лет — доктора права.
Лейбниц является одним из создателей анализа. Он изобрел также определители и сконструировал вычислительную машину, которая выполняла не только сложение и вычитание, как это было у Паскаля, но и умножение, деление, возведение в степень и извлечение квадратного и кубического корней. Свыше 40 лет посвятил Лейбниц усовершенствованию своего изобретения. Именно поэтому его можно считать идейным вдохновителем современной машинной математики. Он первым нарушил вековую традицию писать научные труды только на латинском языке.
Лейбниц ввел много математических терминов, которые теперь прочно вошли в научную практику: функция, дифференциал, дифференциальное исчисление, дифференциальное уравнение, алгоритм, абсцисса, ордината, координата, а также знаки дифференциала, интеграла, логическую символику и другие.
7.3. Схема нахождения, производной
109
В философии Лейбниц явился завершителем философии XVIII века, предшественником немецкой классической философии. В физике он развивал учение об относительности пространства, времени и движения. Лейбниц установил в качестве меры движения «живую силу» (кинетическую энергию) — произведение массы тела на квадрат скорости. В языкознании создал теорию исторического происхождения языков, дал их генеалогическую классификацию, развил учение о происхождении названий. Является одним из создателей научного лексикона. С именем Лейбница в науке связано также много других открытий и гипотез.
НЬЮТОН (Newton) Исаак (1643-1727) — английский физик и математик, член Лондонского королевского общества (с 1672) и его президент (с 1703).
В своем грандиозном труде «Математические начала натуральной философии» (1687) Ньютон намечает программу построения методов анализа на основе учения о пределе, не давая впрочем, формального определения этого понятия, получившего глубокое развитие в математике XIX века. Вклад Ньютона в математику не исчерпывается открытиями в области дифференциального и интегрального исчисления. В алгебре ему принадлежит метод численного решения алгебраических уравнений (метод Ньютона), важные теоремы об отделении корней, о приводимости уравнений и т. д.
В физике Ньютон обосновал справедливость закона всемирного тяготения всеми известными в то время астрономическими фактами и вычислил на основе его траектории тел, которые двигаются в разных условиях в поле тяготения; выдвинул корпускулярную теорию света, в которой рассматривал свет как поток особых корпускул (частиц), испускаемых источниками света. Ньютон первым обнаружил, что пучок белого света можно разложить в пучки монохроматического света (дисперсия света), и показал, что сложный состав белого света является одной из причин искажения изображения в оптических системах, в частности в телескопах. Стремясь обойти этот недостаток телескопов, сконструировал первые зеркальные (отражательные ) телескопы.
7.3. Схема нахождения производной
Из определения производной следует схема ее нахождения:
1. Фиксируется значение х аргумента функции и выписывается исходное (начальное) значение функции f(x).
2. В точке х аргументу придается приращение Ах / 0 и выписывается новое (наращенное) значение функции f(x + Ах).
3. Вычисляется приращение функции Ay = f(x + Ax) — f(x).
4. Составляется отношение
Ах
5. Находится предел этого отношения при Ах —> 0 (если этот предел существует).
по
Гл. 7. Производная
Рассмотрим некоторые примеры нахождения производных.
Производная постоянной величины. Пусть дана функция у = с. Найдем ее производную.
1. Фиксируем значение х аргумента функции и выписываем
исходное значение функции f(x) = с.
2. В точке х аргументу придаем приращение Ах ф 0 и выписываем новое значение функции f(x + Ах) = с.
3. Вычисляем приращение функции: Ay = f(x + Ах) — -f(x) = c-c = 0.
4. Составляем отношение = ——- = = 0.
Ах Ах Ах
5. Находим предел этого отношения при Ах —> 0: у' =
Ау
= lim —— = lim 0 = 0.
Дж^О Ах Аж^О
Итак, производная постоянной величины равна нулю:
7 = о.
Производная функции у = х. Пусть у = х. Найдем производную.
1. Фиксируем значение х аргумента функции и выписываем исходное значение функции f(x) = х.
2. В точке х аргументу придаем приращение Ах ф 0 и выписываем новое значение функции f(x + Ах) = х + Ах.
