Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
V V2 Vs
g,(x)= - (х» + х), 4
«.(*)= — (5х! + 16xs + Зх), 96
*,(*)- — (Зх' + 19хБ + J7**- 15х), 384
g —!— (79хв + 77бх» + 1482Х6 - 1920х' - 945х). 92160 26.8. МЕТОДЫ ОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
743
Предельное распределение
26.7.6. Iim A(I I v) =
2я S
V2;
' dx = A(t).
Аппроксимация для больших значений I и v ^ 5
26.7.7. ^lv,
1 2 3 4 5
?V 0.3183 0.4991 1.1094 3.0941 9.948
і. 0 0.0518 -0.0460 - 2.756 -14.05
Аппроксимация для больших v
26.7.8. A(t\ v) * 2Pix) - 1, X =
'(1^)
Нененіральное r-расоределение 26.7.9. P(t' I v, S) =
1 г С V У-+Ц'2с-»8У№+»Ч] .
X id — > — + Л ' * = -~
4 2 2 ) +
где 8 означает параметр нецентральное™.
Аппроксимация нецентрального /-распределепая
26.7.10. P(t' I v. 5) » Р(х), где X =
I1 iib
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
26.8. МЕТОДЫ ОБРА ЗО ВАЇГИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Случайными цифрами называются цифры, полученные в результате повторного независимого выбора из совокупности 0, 1,2,9 с вероятностью выбора любой цифры, равной одной десятой. Это .эквивалентно помещению десяти шаров, занумерованных цифрами от 0 до 9, в урну и извлечению из нее каждый раз одного из шаров с последующим возвращением его в урну после каждого извлечения. Полученное множество чисел образует группу случайных цифр. Всякая группа п последовательных случайных цифр называется случайным числом. Табл. 26.11 содержит случайные цифры, полученные указанным способом и сгруппированные по пяти цифрам.
Имеется несколько таблиц случайных цифр (см. ссылки). Однако использование случайных чисел в электронных вычислительных машинах потребовало образования слу-чайпілх чисел детерминированным путем. Числа, образованные таким образом, называются псевдослучайными числами. Качество псевдослучайных чисел определяется проверкой их с помощью нескольких статистических критериев (см. [26.55], [26.56]). Целью проверки является обнаружение свойств псевдослучайных чисел, отличных от свойств случайных чисел.
Практика показала, что для образования псевдослучайных чисел в электронной мадшіе наиболее удобен конгруэнтный метод.
Пусть (Arn), п — 0,1,2,— последовательность псевдослучайных чисел. Конгруэнтный метод образования псевдослучайных чисел определяется соотношением
Xn+i = aXa + b (mod Т),
где Ъ я T — взаимно простые числа. Выбор T определяется возможностями машины и принятой системой счисления; о и Ъ выбираются с учетом следующих условий: 1) полученная последовательность {Хп} должна обладать желаемыми статистическими свойствами случайных чисел, 2) период последовательности должен быть возможно более длин-
ным, 3) скорость образования должна быть большой. Величины а и b нужно выбирать таким образом, чтобы корреляция между числами была близка к пулю. Корреляция между числами Xn и Xn^ в последовательности Xnjrt = — QsXn + Winod Т) выражается следующим образом:
1 -
-И)
as
+ е,
ая = os(mod Т),
bs = (1 + а + а* + ... + а*~1) Ь (mod Т), І є I < а,!Т.
Когда а « 4т, корреляция pi и і Nt.
Последовательность, образованная мультипликативным конгруэнтным методом, будет иметь полный период T чисел, если
1) і и Г взаимно просты;
2) а = 1 (mod р), если р являегся простым множителем Т;
3) а — 1 (mod 4), ести 4 является множителем 7*.
Следовательно, если T — 2а, то b должно быть нечетным и а = 1 (mod 4). Когда T — 10е, то Ъ не должно делиться пи на 2, ни на 5 и а = 1 (mod 20). Наиболее удобно выбрать а - - Is + 1 (для машин с двоичной системой счисления) и а = 10s + 1 CrUiH машин с десятичной системой счисления). С точки зрения скорости образования случайных чисел эта схема требует лить операция сдвига и две операции сложения. Для образования последовательности случайных чисел в качестве начальной точки можно взять любое число. Хороший обзор образования последовательности случайных чисел можно ттайти в [26.51].
Ниже помещены различные конгруэнтные схемы и перечислены их свойства. 744
- 26. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Конгруэнтные методы образования случайных чисел (Xn+i = аХя + 6(mod Т), T н b взаимно просты)
« ь T Период X, Случаи, в которых полученные числа были проверены с помощью статистических критериев
26.8.1. 1 + с нечетное T=P 1« 0«Х„ < T T = 235, Xu неизвестно, а = 2' + 1, Ъ = 1; T = 2", а = 2» + 1, b = = 29741 09625 8473, X0 - 76293 94531 25 '
26.8.2. г2' ± 1 (г — нечетное, S^ 2) 0 T=P ,1-і взаимно простое с T T = 2м, 2", А-«=!, а = 5" (і = 2); T = 2гъ, Xi = 1; T = 2", X0= 1 - 2-»», 0.5478126193, а = 513 (s = 2); T= 2м, X0 = 1, а - 515 (s = 2)
26.8.3. г2' ± (г— нечетное, S 2) 0 T=Ai 1 различные < T= 2s5 + 1, Xо = 10,987,654,321, а =23, период » 10е; T = IO8 + 1, X0 = 47,594,118, а = 23, период a 5.8 • 10е
26.8.4. Jie-Il 0 T = 10» 5- 10«-' T = IO10, X« = 1, а = 7; T = IOup Xo = Ip а - 7м
26.8.5. 348+1 О-0, 2,3,4) 0 T= IOa 5-Ю«-« <t
Xn были взяты в качестве начальных точек последовательности при проверке с помощью статистических критериев.
В числах, получепных с помощью конгруэнтной схемы, последняя значащая цифра имеет короткий период, поэтому всю длину машинного слона использовать нельзя. Если необходимо использовать случайные числа с возможно большим числом цифр, конгруэнтную схему следует модифицировать. Одним из таких способов модификации является образование чисел mod T ± 1. К сожалению, этот способ уменьшает период.
