Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
APCO _ 0.5- IQ-18 Z(x) Z(x)
Пусть Zj(X0) соответствует ближайшему протабулиро-пднному шичению Р(х). Тогда удобная формула для обратной интерполяции имеет вид
Дх ?
2
24±1 ,
t = P(X) - P(X0) Z(X0)
Если взять только два члена (т.е. х = х0 4- ()> то ошибка
в X будет ограничена величиной — • IСИ; поэтому истнн-8
ное значение будет всегда больше, чем приближенное.
В нашем примере Ax « Ю-14, поэтому найденное значение дг может" иметь ошибку в единицу четырнадцатого десятичного знака. Значение, ближайшее к Р(х) — 0.97500 00000 00000, равно Р(х0) - 0.9750 21048 51780 с д'о — 1.96. Следовательно, используя обратпую ищерноля-ционпую формулу с
t = -0.00003 60167 31129
и беря пятнадцать десятичных знаков, получим
+ 1.96000 ооооо ооооо -0.00003 60167 31129 I- 12 71261
- 68 0
-і 1.95996 39845 40064
Асимптотическое разложение Эджворта
Пример 6. Найти асимптотическое разложение Эджворта 26.2.49 для функции распределения хи-квадрат.
Метод 1. Разложение для у/. Пусть Є(Х"І V) = 1 - F(I),
'Ж
Так как значения Yi и Y2, вычисленные г.о формулам 26.4.33 равны
Yi -
Та = 12/v,
то, исночьзуя первые два члена разложения 26.2.49, заклю ченные в квадратные скобки, получим
F(t) ~ P(F) - -р ^2Kt) j +1 Z<3>(f) + J Zt6>(/)j -
Разложение Эджворта является асимптотичсским раз-ложзиием с коэффициентами, зависящими от производных от нормальной функции распределения. Часто возможно так преоЗразояать случайную величину, что сс распределение будет ближе к нормальному, чем распределение первоначальной случайной величины. Следовательно, можно получить большую точность с тем же числом членов, если использовать разложение для преобразованной величины. Поскольку распределение -Jlx2 ближе к нормальному распределению, чем распределение х2 (°б этом можно судить, сравнивая значения Y1 и YaX то следует ожидать, что асимптотическое разложение Эджворта для -Jlx' будет предпочтительнее, чем разложение для %2.
Метод 2. Разложение для V^X2- Пусть
V Vl — l/(4v) )
где V2v— 1 и 1 — l/(4v) означают среднее и дисперсию величины -Jlx1 до_членов порядка v~2 (см. 26.4.34). Значения Yi и Y2 Для V^x3 имеют вид
VS L 8 V J 4 Vа
Yi г
Таким образом, получим
ww-i- [К1 '-S5,) zH
•ІГ—-ZCl(I)+ v |.32v 144
Ц1 +J-IVw].
44 I 8vJ J
Пример 12 иллюстрирует применение этого выражения в вычислительных целях.
Вычисление ДА, к, р)
Пример 7, На&ги Д0.5, 0.4, 0.8). Используя 26.3.20, имеем
Va2 - 2рhk H- к3 = -J<№ = 0.3, Д0.5, 0.4, 0.8) = ДО.5, 0, 0) + Д0.4, 0, - 0.6). Из рис. 26.2 получаем, что
Д0.5, 0, 0) + Г,(0.4, 0, -0.6) - 0.16 -Ъ 0.08 = 0.24. Ответ с 3D имеет вид
ДО.5, 0.4, 0.8) = 0.250.
Вычисление функция двумерного нормальної о распределении
Пример 8. Пусть XnY имеют двумерное нормальное распределение с параметрами гпх 3, ту = 2, Cx =4, <тв — 2, р = —0.125. Найти значение Pr {X > 2, Y > 4}, используя 26.3.20 и рис. 26.2, 26.3. 26S. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ И РАСШИРЕНИЕ ТАБЛИЦ
749
Поскольку
Pr {Х^ Aj r>jfc}=jr . о],
I «г J
имеем
Pr {X ^ 2, У ^ 4} = ?(-0.25, 1, -0.125). Используя 26.3.20, получим
?(¦—0.25, 1, -0,125) =
— ?(—0.25, 0, 0.969)+?(1, 0, 0.125)- 1/2.
Рис. 26.2 дает значения только для А > 0, однако, исполь зуя соотношение 26.3.8 с к = 0, ?(—А, 0, р) - 1/2 — -ДА, 0, --р), находим, что Д-0.25, U, 0.969) --= 1/2-
- ?(0.25, О, -0.969). Поэтому
?(-0.25, I, —0.125) «
= -?(0.25, 0, —0,969) -г ?(1, 0, 0.125)---- 0.080-Значение ?(—0.25,1, —0.125) с 3D равно 0.0S0.
Интеграл от плотности двумерного нормального распределения, кзнтый по многоугольнику
Пример 9. Пусть случайные величины X и Y имеют двумерное нормальное распределение с параметрами тх —
— 5, Стдг = 2, mv = 9, Vy — 4, р — 0,5. Пай ги вероятность того, что точка (X, }') попадает внутрь Tpcvi ольняка с вершинами А = (7, 8), В = (9,13), С - {2, 9).
Для получения интеграла от плотности двумерного нормального распределения, взятого но многоугольнику, сначала следует использовать 26.3.22 и преобразовать переменные X, Y в новые переменные, имеющие круговое нормальное распределение. Многоугольник в области изменения новых переменных разделяется па несколько областей таких, что интеграл по каждой из этих областей можно легко вычислить. Ниже перечислены некоторые из наиболее часто встречающихся областей. Для следующих двух областей определим
A =
A'i =
! Vi -Jih!
' ((? - Sl)2 + (h - (,)Т"
I - Si) + h(h - (і) I
[(Sa- Si)2 + (? - (I)2I1'2
! Ssfe — S1) -г 1-А/. - h)\
[(? - Я)2 + ih - M2-I1'2
Формулы преобразования переменных 26.3.22 для нашего
примера имеют вид
Треугольник В ПЛОСКОСТИ (Ss 0 имеет вершины Аф/4, -5/4), 'Л(Л-І), (7(-^3/2,3/2).
Эти точки обозначены на рис. 26.10. Из этого рисунка видно, что искомая вероятность равна сумме вероятностей того, что точка с координатами О, г) попадет внугрт, треугольников AOS, AOC и ВОС.
(ahb2) (IiA)
(агА)
(Ii2J,) 750
2S. »АЄГ»ВДИІВЙИВ ВВРОЯТЯОСГЕЙ
Рис. 26.10.
Для эшх треугольников имеем h кг AAOB у V2T V7/14
