Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
2д(1 + b)
(1 + 6) - — [Sb + 4
V-v
V2v L 8v 128v«J
+ O(Tm)
9v L 9vJ
+ O(V)
Пі
+ O((V-I)-W)
(2 13/г ттт)
H-ihQ - Ц(і + зь)
+ (l + i)(1-7i)J+0(<r!)
- IT1O + Ъ) + - a-V + O(Oj) 9 27
2I/?(1 + b)3'1
+ O(CTi)
(2 Г!'г
—iV1» + 0(<r"'a)
і +ІУ
Hf
'(і)"
-Mi + -4
.-iL 3(v
—1-- l)aJ
+ 0((ч - I)"5)
12 1 + Зі
а (1 + 6)г З Hb + 2)
(1 + Ьf
0(а-а)
4 (1 -і- ЗЬ + 126а - 44b3)
о(1 + Vf
-0(а-») 72.2
26. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
26.5. НЕПОЛНАЯ БЕТА-ФУНКЦИЯ
26.5.1. Ш, Ъ) = —— ( ta~\ 1 - Ob"1 dt
В{а, b) J
1).
26.5.2. lx(a, Ь) = I- Гг-хф, а).
Связь с распределением хн-квадрат
Если Xf я Х\ являются неза вксимыми случа йньгми величинами, каждая из которых имеет распределение хи-квадрат с V1 и V2 степенями свободы соответственно, то величина Xl>(X'( +XI) имеет бета-распрсделенис с v1 и v2 степенями свободы. Ее функтгия распределения имеет вид
26.5.3. F.
і * «4.
I + A I
LfV
i, ft) J
(1 - I)""1 dt -
= Hfl, Ii), a = Vi/2, і = v„/2.
Разлоягеггая в ряд
(0< дг< 1)
26.5.4. Ha, b) =
.їЗІ^Лп f-
1^(0,4) \ hi
В(п + І.я + 1) - і, n + 1) "
1
26.5.5. Up, Ь) =
х"(1 - х)'-' aB(a, Ь)
Ua. Ь) -
х"(1 - х)'
1+5
Z1+ fj ^iiriiiL. f. -^r1I
I his(b- П - 1, II + їді - xj j №
aBia, b)
В(я + 1, її + 1)
Вф-п - і, и + 1)1
26.5.6. 1 - It(a, b) = I1Hb, a) = .(I-X)s^
+ Г da + s, b - і).
I»)!g (_„.(«- MCI^ (й-цыюе). В(а, Ь) hi { і I b + і
26.5.7. І - На, b) = /!.„(6, а) -
-а-x^gC + »-1)
Разложения в непрерывную дробь
16.5.8. Uat 6) = A1 ~ ^ f J_ А А І,
я?(а,6) Il+1+1+ J
(а + т) (о + b Ч* т) (o + 2т) (а -I- 2т + І) ' _ m{b — tri)
(1а + 2т - 1) (a H 2т)
Наилучший результат можно получить, когда х <
< --Подходящие дроби, оканчивающиеся членами
а + Ь-2
dm и W4m-KL, всегда меньше ZrCa, в то время как подходящие дроби, оканчивающиеся членами djm+s и dm+g, всегда больше Ix{a, Ь).
26.5.9. Ua, Ь) - [uLilil .1,
оВ(о, і) Ll+1+1+ J
х< 1, C1 = 1,
___( а I т — 1) (ft — т)___х
а™ (а + 2га — 2) (а + 2т - I) 1-х т(а + ft — 1 + т) х
eSnH-I -
(а + 2т — 1) (4 + 2m) 1 - x
Рекуррентные соотношения
26.5.10. Ua, b) - xUa - 1, ft) + (1 - х) Wo, ft - 1).
26.5.11. На, b) =
1
26.5.12. «я, ft) =
{Hfl + 1, ft) - (1 - х) Ua + 1), b - 1)}. 1
- {ft«o, b + 1) +
о(1 - х) + Ь
+ я(1 - х)На + 1, і - 1».
26.5.13. IM 4) = —{"На + 1, і) + bUa, b + 1)}. о + ft
26.5.14. Ua, а) = - Ji-..
2
26.5.15. «о, 6) =
Г(я + Ь)
НУ
. J 112
л — 41X--1 ,
{ 2 J
Г(а + 1) Г(6) 26.5.16. Uо, ft) -
х»(1 - х)"-' + /*(о + 1, b - 1).
Г(а + 1)Г(Й)
26.5.17. 1 - «о, ft)
Асимптотические разложения
r<ft. у) _
Г (ft)
24N1
-L-J-^ff +1+,)1 +
>4jV! 1(6 - 2)1 J
J_ J.
¦60Л" (і
у"
S760N' l(b - 2)1
[(6 - 3) (b - 2) X
X (5ft + 7) (ft + 1 + у) - (Si - 7) (ft + 3 + >)Уі| •
-ЛІІпх, IV = O+ -
26.5. НЕПОЛНАЯ ЕЕТА-ФУНКЦИЯ
¦ 'Л .
(а - і - w)
739
2 4
- +
—М- _ 2а»+ 2,, _2 - ,,[2,,2- uo + i] + (26)" 12 3 2 3 L 2 6 3J
26.5.19. Idfl, Ъ)~Р(у) -
_ ад L + ?0^ + +
L 1 + Oa 1 + O2
C1 = 2 (4 _ о) [(а + 4 - 2) (а - 1) (4 - 1)]""!,
If-J- +-J---
12La — 1 (1-1 в+ 4- Ij
а, " — — Гаї fa,+--?--11.
15 L I а + ь-г)1
j.1 - 2 + і -1) In -! + (а -1) 1„ _?_!_+
а + і — 2
+ (і - 1) In
(а + і) - 1) х Ь- 1
и у берется отрицательным, когда X < -
(о + Ь - 1) (1 а- 1
Аппроксимация
26.5.20. Если (а + 4 - 1) Cl - х) S 0.8, то
S)= S(XaIv)+ с,
|е|< 5 -10-", если а + і>6, Xs = (я + Ь - 1) (1 - х) (3 - х) - (1 - х) (6 - 1). V = 26.
26.5.21. Если (а + 4 — 1) (1 — х) > 0.8, то
«а, 6) = PC)+ є, » 4 ? I < 5 - IO"5, если а + 4 > б,
'hKM'-al
[f^r
IV1 = (foe)1'», >f2 - [а(1 - х)]1/3.
Аппроксимация обратной функции
26.5.22. Если Ixp(a, f>) = р и Q(yp) — р, то
. + [_1
-U---Ufx + 1-2],
1.24-1 2о-іД 6 34J
A-af—!—+ -J—Г1. X
Ua-I 2b-l)
a + b-2
Связь с другими функциями в распределениями
Функция
26.5.23. Гипергеометрическаа функция
6
1 X•
В(а, 4) а
F{a, 1 - 4; а + 1; х) - «я, 4)
26.5.24. Биномиальное распределение
26.5.25. Биномиальное распределение
26.5.26. Отрицательное биномиальное распределение
26.5.27. Распределение Стыодента 2&5.28. ^-распределение
--Pyij=Ma- л-«+ 1)
(a) =I"(a' "-a + J) - Гр(а+ 1, я-а)
Ef+',-1J^v-««..о
1 - ^lv) = /,(І.
• V1F 72.2
746 - 26. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
26.6. і7-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
26.6.1. P(F V1, Va) =
=, -^v'1'8. Fr ,№-2>'2(va + V1O-'".+"-"2 dt
B (1 V1, Iv2) S
(F ^ 0).
26.6.2. Q(FI V1, v2) = 1 - P(F| V1, Vi) = WJ2, vj/2),
va + ViF
Связь с распределением хи-квадрат
Если X1 и Xi являюіся независимыми случайными величинами, каждая из которых имеет распределение хи-квадрат с -J1 и va степенями свободы соответственно, го распределение отношения F--(XlIv1)Z(Xlhz) называется Р-распрейслснием с V1 и V2 степенями стбоды. Соответствующая функция распределения определяется выражением P(FI Vi, v2).
