Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
4. Метод лрнсма-отклоненим.
В дальнейшем предполагается, что случайная величина изменяется в конечной области (а, Ь). Если область бесконечна, то в вычислительных целях следует обрезать ее-например, в точках а и Ь. Тогда полученная случайная величипа будет изменяться в этой конечной области.
а) Пусть / означает максимум /(у). Тогда лропедура образования случайных чисел состоит п следующем: I)обра-, зуем пару {щ, иа) равномерно распределенных случайных чисел; 2) вычисляем точку у = а + {Ь — а)ы2 на интервале (а, Ь); 3) если M1 </(y)lf, то принимаем у в качестве повой случайной величины, в противном случае пару (мІ5 ыг) отбрасываем и все начинаем сначала. Доля принятых величин равна [(o — a)f]~\ Следовательно, отношение принятых величин к их общему числу уменьшается с увеличением области. Один из способов увеличения этого отношения состоит в разделении интервала (а, b) на взаимно исключа* 746
- 26. распределение вероятностей
ютцие интервалы. Для этой цели разделим интервал (а, Ь) на к интервалов таких, что у'-й интерзал имеет границы Zi
^j) с So — a, ?fc — Ъ и J f(y)dy = pj; далее, пусть Ь-х
/} означает максимум /(у) на >м интерчале. Для образования случайных чисел с плотностью пероятности /(у) образуем п пар переменных (ыи, «2s)> 5 — 1, 2, п. Припишем [иPj] таких пар к /-му интервалу и вычислим У) ~ ^j-I -i- — -i)u2S. Hсли U1V < /(}'))!/}, то принимаем yj в качестве новой случайной величины. Доля принятых величин в этом случае равна
b) Пусть F(у) такова, что /О) = А(у)Му), переменная Y изменяется в интервале (а, Н). Пусть далее fx и /а означают максимумы JiO') и /ч(у) соответственно. Тогда метод образования случайных чисел с плотностью вероятности /О) состоит в следующем: 1) получаем Ui, U2, U%; 2) определяем 2 = а + [Ь — a) к-ь 3) если выполнимы оба неравенства U1 < fi(z)!fi и U2 <Mz)'Jz, то берем z в качестве искомой случайной величины; в противном случае берем другую выборку Ui, II2, U3. Доля принятых величин равна [(6- a) fx /2] г; ее можно увеличить, разделяя интервал (а, Ь) на несколько частей, как в предыдущем случае.
c) Пусть плотность вероятности Y имеет вид
Ry) =J«Cf. Odt (а / < ?, ^ Ь).
а
Пусть, далее, g означает максимум g(y, 0- Тогда метод образования случайных чисел с плотностью вероятности /(у) состоит в следующем: 1) получаем Ui, Ui, Uy, 2) определяем s = а 4- (? — ж) 7. - а 4- (Ь — а) м-,; 3) если M1 <: < g{z, s) Ig, то бгрем z в качестве искомой случайной величины; в противном случае берем другую выборку. Доля принятых величин равна [(b — a) gV1'. это отношение можно увеличить, разделяя интервалы («, ?) и (а, Ь) па несколько частей.
5. Cocra длой метод.
Пусть gi(y)—плотность вероятности, зависящая от параметра z, H(z) — функция распределения величины z. Чтобы получить значения случайной величины Y1 имеющей плотность вероятности
/Ь)" J SMdH(Z).
сначала получаем значения случайной величины, имеющей функцию распределения H(z); затем получаем вторую выборку с плотностью вероятности gz(y)-
6. Образование случайных «тсс.!, имеющих известные законы распределения.
А. Нормальное распределение
(1) Метод инверсии. Этот метод используется в том случае, когда имеется удобное приближение к обратной функции X = P~\it), где
Для этой целя можно использовать два пути: а) приме-/ І -1І/2
нение формулы 26.2.23 с t — I In — J или Ь) приближение X — Р~1(м) с помощью полиномов Чебышева (см. [26,54]).
(2) Сумма равномерно распределенных случайных величин. Пусть CZ1, U2, —, Un—последовательность тг независимых равномерно распределенных на интервале (0,1) случайных величин. Тогда
•1/9
имеет асимптотически нормальное распределение. Когда «=12, максимальная ошибка в значении нормальной случайной величины равна 9 -IO-3 для |ЛГ[<2и9'10~1 для 2 < \Х\ < 3. Более точное приближепис можно получить, если в качестве нормальной величины взять полином от Xtl, например,
Xl - Xnf^auX?,
где a2f —соответствующим образом подобранные коэф" фициенты. Эги коэффициенты можно вычислить, используя, например, полиномы Чебышева или согласуя переменную Х„ с нормальной переменной в некоторых определенных точках. Когда п = 12, максимальная ошибка в значении нормальной величины равна 8 • IO"4, ссли коэффициентами выбраны следующие величины:
а0 = 9.8746, а3 = (-3)3.9439, а4 = (-5)7.474, о, = (-7)-5.102, в, « (-7)1.141.
(3) Прямой метод. Образуем пару равномерно распределенных случайных величин (U\, CZ2). Тогда /V1 =s =(-2 Ir u,)1'2 cos U2, 2\п Ui)1'* sin 2тгU2 образуют пару независимых нормальных случайных величин с пулевым средним и единичной дисперсией. Этот метод можно видоизменить, вычисляя cos 2тс U и sin 2п U и применяя метод приема-отклонения: инътми словами, вся процедура состоит в следующем: 1) образуем пару (CZ1, U2)', 2) если (2U\—Л)г+ H (2U2— 1)J ^ 1, то берем третью равномерно распределенную случайную величину U3, в противном случае отвергаем пару Ui, U2 и начинаем все сначала; 3) вычисляем
Л = (-In «»Г
и\ + «I Уг - ±2(—In H3)*'*
и! + «1
