Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Статистические свойства 26.6,3. Среднее:
т (v2 > 2),
V2-2
дисперсия:
а» =
vi(v2 - 2)2 (va - 4)
третий центральный момент:
Vil3 8У,(У1 + va - 2) (2? + Vj - 2)
Ц, = I — I - — —=-= —¦ —-— (V2 > 6),
11 (V2- 2)» (v2 - 4)(v3 - 6)
"И"
моменты относительно начала координат:
rfa-L2»!
IvJ r(f)
характеристическая функция:
ФСt) = E(etF*) = M^P - JJL,
Разложения в ряд (х - V,((v2 + V1F)) 26.6.4. Q(F\ V1, vs) -
vs(v2 + 2) ,
"I"
= Г, + А (1 _ х) + (1 - х)' + ... +
L 2 2-4
v2(v,+ 2)...(v2 + vi-J)^ _ ^1,.] (Vl — четное). 2' 4 ... (vt — 2) J
26.6.5. Q(F\ v„ V3) _ = I - (І-хГ-'^І + j
Vi (vi + 2) 2-4 Л
Vifa + 2)... (у, + V1 - 4) І ,
H--І--.-------- Л( (V2 — четное).
2 ¦ 4 ... (va — 2) J
26.6.6. Q(F\ V1, V2) =
- -Xv1-I-V2—2)/2
1 + -1S+-^ flr^] +
1M-
(1T-T+-
+ .+ Ikt 2) fa + "3 - 4) j 1 -X-2-4
2-4...(? - 2) ( X I J
26.6.7. Q(F\ V1, v2) _
= 1-(1- *f.+>.' 2»2 [l + vA + - 2 -) + -
26.6.8. Q(FI V1 v2) — 1 A(t I v8) + ?(vb v2)
(Vi, V2 — нечетные) ^ {о + sin 0 j^cos 0 + J cos» e+ ...
+ cosv,-2ej|
для V2 > 1,
3-5... (V2-2)
для V2 — 1;
?(vi, V2) =
sin 0 cosv* 6 X
xjl -b vA-Li Sin3 e + „.
¦ + (va+ 1)(4+3)... (V1+ vg-4)5ip^-39j
3-5 ...К- 2)
для V1 > 1,
О для V1 = 1,
где 0 — arctg j/ F ¦
26.6. F-PAОПРЕДЕЛЕНИЕ
741
Рефлексивное соотношение
Пусть Fjtvll Vj) Я iVjtVa, V1) удовлетворяют соотношениям
?(Fr(v 1. v>) I »1. va) = P. e<fi-j,(vs, v1) I va, v1)- 1 -pi
тогда
26.6.9. Fptvll V,)
1
fi-r(va, V1)
Связь с (-распределением Стыодента (см. 26.7) 26.6.10. 2(F| V1-I, V,) - 1 - A(1 ] V2), JI. Пределы
26.6.11. HnV GW V1, ^=S(XjIv1),
26.6.12. lim ?(F| V1, va) = P(x!| Vs),
vc->ca
Аппроксимаїція
26.6.13. ?(F| v1, vj) і ЙИ,
F--——
Vs — 2
Xs = V1F Xа = 's/P
2( V1 + у, - 2) VifV3 - 4)
(V1 и va— большие).
26.6.14. Q(F\ V1, V2) « Q(x),
|/(2v2- 1)-^ F- VSi-Tl
ll+^F
Vi
26.6.15. O(F|4i, V2) »OW,
V-L + г»« .L
V 9V! 9va
Аппроксимация обратной функции
26.6.16. Если QlFv Iv11 v2) = pt то Fp s; е-"1, где и» дается соотношением 26.5.22 и V1 = 26, V2 = 2а.
Функция нецентрального F-раснредслеиия
26.6.17. P(F' I V1, v2, >.) =
F'
= Jjtfl Ч Л - 1 -CtfI Yb V2, X),
где p(t I V1, V21 >.) =
s ? ШІ (V 4- 2дСЦ + ЗД'У
у =s о
x ,0.+?-?/2 [v2 + (v1 + 2/)(]-'".+?+..)/2
і X > 0 означает параметр нецентральности.
Функция 26.6.18. F-распределение
Соотношения между фуикцией нецентрального F-paопределения и другими функциями
Соотношение
26.6.19. Не г митральное /-распределение
26.6.20. Неполная бета-функция
26.6.21. Вырожденная гипергсомстричсская функция
W I^1, va, X)= f) е~112 P(F' I V1 + 2л v2)
fei P-
W |vb v2, X = O = WIy1, v2)
WlV1=I1 va, >.) = I V, 5), ('=VFiV = Vjl, S=V^
Wivli +л f,.....}
I V1F' + vj v.B-1 -
Wlv1, v2, X) —
Ы (? + v^ bM2 + 1 + 1 ¦ v»'2 - о '
x ^2"1 (1 - x)»-«-""1 M , і + / + 1, f J 742
- 26. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Разложение в ряд 26.6.22. PiFfIvlf vs, x^e-W-^V4'+*'-^2 ^Vi
M=O
(vs — четное),
де
То — 1,
T1 = - (va + va - 2 + Xv) LzJLt 2 *
Ti = Lul [(V1 -f Va - Ii + їх) Ti-I + A(t - х) Ті 2і
V1F' + V8
Пределы
26.6.23. IimPCfIv1, va, л) = Р(х'' I v, X),
Xft = ^lFfi ¦
26.6.24. Iim P(F' I V1, V2, >.) = Sfxi I v), X = ^ -1 .
-J1^x F'
где /./'jI • C3 при V1 - • CO.
Аппроксимация нецентрального ^-распределения
26.6.25. P(F' I V1, V21 X)«P(xi) (v, и V2 — большие),
V2(Vl + X)
F'--
v,(vs - 2)
f (Vi + >¦)'
Vi L(»,-2)(?-4) I V2-2
26.6.26. Р(Г| vi, V3, X) « P(F| vf, v2).
F = "» ft v. _ .
vi + X ' 1 V1 + 2?
26.6.27. P(F' I vb v2, X) к P(x2),
+ V1+
(vi + X)'
" vif ]' -(vi + X)J
'[-^-I1
2(vt + 2Х)1
9(vi + X)°]
. 9 (Vi + >.)' 9v3
C^x-rr
26.7. ^РАСПРЕ ДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА
Если X является случайной величиной, подчиняющейся нормальном;/ распределению с пулевым средним и единичной дисперсией, a X2 является случайной величиной с распределением хи-квадрат с v степенями свободы, и если X и X2 независимы, то распределение отношения XI-Jx2Iv называется г-распределепием Стьтодепта с v степенями свободы. Вероятность события {\XJ^x2Iv I ^ '} дается соотношением
X
26.7.1. A(t\ v) = P j J -^j= I ^ / } =
-ИІ-iirs.O
-ЧИ)
(О s: ( < оо),
Статистические свойства 26.7.2. Среднее: т ¦ ¦ О,
асимметрия: Yi =0,
эксцесс: Yi моменты:
(V > 2),
(V > 4),
1 ¦ 3 ... (2п - 1) V»
l^s» - --------------------(V > 2п),
(V - 2) (V - 4) ... (V - 2п)
Ш.+1 - О,
. характеристическая функция:
ew^Hft-Jrv)]"
Jl W2
ш
*Г(у/2)
№
Разложения в ряд
(о-arctg-J-.)
-|е +sine
26.7.3. A{t\ V)=
cos 6-І---coss0 + ...
З
, 2 - 4 ... (v — 3) ,
+ ---- cos
I ¦ 3 ... (V - 2)
(v > 1 и нечетное).
- в (v - 1).
26.7.4. A(t I v) = sin
— cos2 9 + Ll cos46 + ... 2 2-4
(v — четное).
2-4-6... (v-2) Асимптотическое разложение для обратной функции Если A(tv |v) = 1 — 2р и Q(xP) = р, то 26.7.5. + i^si + M&U + ....
