Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
(і берется случайным образом). Оба значения Уі и у2 являются требуемыми случайными величинами.
(4) Метод приема-отклонения. 1) Образуем пару равномерно распределенных случайных величин (IJ11 Us)', 2) вычисляем х ——In W1; 3) если (шш, что эквивалентно, (х— I)2 —21n It2), то х принимаем, в противном случае пара (CZ1, Uti) отвергается и все начинаем сначала. Величина х имеет нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией.
1). Двумерное нормальное распределение.
Пусть (XuX2)—пара независимых нормальных величин с ітулевым средним и единичной дисперсией. Тогда [X1, PX1 + Vl — PiX2] — дара случайных величин, имеющая двумерное нормальное распределение с нулевыми средними, единичными дисперсиями и коэффициентом корреляция р.
С. Показательное распределение.
(1) Метод инверсии. Поскольку F(X)=I — то X = —6 In U имеет показательное распределение с параметром 0. 26,9. использование и расширение таблиц
747
(2) Метод нриема-отклонения. 1) Образуем пару (U0, U1); 2) если Uy < U0, то берем третью величину CZa; 3) если Ui -г Uz < U0' то берем четвертую величину {/s, и т.д.; 4) продолжаем получать равномерно распределенные случайные величини ло п включительно такие, что Ui + + Us -I- ... -I Un-1 < U0 < U1 -і -Uz+ ... + Un-, 5) если п четно, последовательность отвергается и начинаем новое испытание с ноной величиной Un', в противном случае при нечетном п берем X ~ 6(70 в качестве требуемой случайной величины. Случайная величина, полученная в результате такого процесса, имеет показательное распределите с параметром O. Можно ожидать, что требуется около шести равномерно распределенных случайных величин для полу-
чения одной случайной величины с показательным законом распределения.
(3) Мсто д, основанный на дискретном распределении. Пусть Г и « — дискретные случайные величины с вероятностями
Pr { у = г} = (е - 1) e-<r+*>, г — Qt 1, 2.....
Pr {« = s} - [s!(e - І)]"1, і = 1, 2, 3, ...
Тогда X-Y +min (?/¦,, Us,.... U») подчиняется показательному распределению. Так как среднее зпачепие п равно 1,58, то в среднем необходимо 3,58 значений величины {/, из которых затем выбирается минимум.
26.9. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ И РАСШИРЕНИЕ ТАБЛИЦ
Использование неравенств
Пример 1. Пусть X — случайная величина с конечным средним значением т и конечной дисперсией а2. Используя неравенства 26.1.37, 26.1.40, 26.1.41, вычислим нижнюю грань функции
A(t) - F(t) - F(~-t) = < fJ
-t !« "l* •
для t = 1(1) 4.
Нижняя грань функции A(t) = F(() — F(—t)
I= 1 I = 2 f=3. Замечания
0 0.7500 ?.8889 0.9375 F(X) — любая функция распределения; 26.1.37
0.5556 0.8889 0.9506 0.9722 F(X) — унимодальная и непрерывная функция распределения; 26.1.40
0 0.8182 0.9697 0.9912 F(X) такова, что ца = 3; 26.1.41
Следует заметить, что стандартное нормальное распределение унимодально, имеет нулевое среднее значение н единичную дисперсию, JZ4 — 3, непрерывно и такое, что
A(t) = P(t)- Р(-0 = 0,6827, 0.9545, 0.9973 и 0.9999 для J = 1,2,3 и 4 соответственно.
Интерполяция функции Р(х) в табл. 26.1
Пример 2. Вычислить Р(х) & тш х = 2.576 с 15D,
используя ряд Тейлора. ¦ '
Обозначив X <= х0 + В, получим
Р(х) = P(X0) + Z(X0) б + Z^(X0) — + 21
Bs Q4
+ ZfiKx9) — + Z^(Xq) — + ... 3! 41
Беря Jc0 = 2.58 и 6 в —4 • 1(У~3, вычислим с 16D:
99842 42230 72204 35976 6 2952 57449 6 8 63097 8 1439 4 9
0.99500 24676 84265. 7 Правильный резулыат с 17D:
Д2.576) = 0.99500 24676 84264 98.
Вычисление с произвольными средним
и дисперсией
- Пр и м е р 3. Найти с 5D значение функции «.5
2Д/2тс J
используя 26.2.8 н табл. 26.1.
Это значение равно вероятности того, что нормально распределенная случайная величина со средним т = 1 н дисперсией ог — 4 меньше пли равна половине. Используя 26.2.8, получим
Р{Х ^ 0.5} = P^MzilJ = 0.25).
Поскольку Р(~х) = 1 — Р(х), имеем Р(— 0.25) = 1 - Р(0.25) = 1 - 0.59871 = 0.40129,
гле для интерполяции использованы два первых члена ряда Тейлора. Заметим, что, интерполируя значение Р(х) для х, лежащего посередине интервала изменения переменной, мы определяем л:—-K0-I-0.01 и, используя первые два члена ряда Тейлора, получаем
Р(х) = P(X0) + Z(xо) 10-а. Вычисление Р(х) для приближенного значеная х
Пример 4. Используя табл. 26.1, найти Р(х) для х=1.96, если в значении х возможна ошибка в пределах ±5 • Ю-8.
Этот пример иллюстрирует тот случай, когда аргумент X известен приближенно. Возникает вопрос, сколько деся-
+ 0.99505 5 748
- 26. распределение вероятностей
тичных знаков следует оставить в значении Р(д)? Если Дх и ДPtr) обозначают ошибку в л а окончательную ошибку в Р(х) соответсі веяно, то АР(х) х Z(x) Д*. Следовательно, ДР(1.9ьО) = 3-10"s, т.е. /'(1.960) необходимо вычислять с 4D. Поэтому Р(1.960) = 0.9750.
Обратная Интерполакин для Р(х)
Пример 5. Найти значение х, для которого Р(х)— = 0.97500 0000 0000, используя табл. 26.1 и определяя столько знаков, сколько совместимо со значениями про-табулированпой функции.
Так как табличные значения Р(х) имеют ошибку 0.5 • IO-15, го
