Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
4. Авпрокснміїция квадратного корня 26.4.13.
Используя аппроксимацию квадратного корня, имеем 0(84 I 72) = 0(х), где
X - V2(84) - V2(72)-1 = 1.0032.
Результат равен g(84 [ 72) = 0(1.0032) = 1 - Р0.ОО32) =
0.15788.
Точное зпачеште <7(841 7?) с 6D равно 0.157653. По-видимому, для вычислепий за пределами табл. 26.7 следует использовать улучшенную аппроксимацию кубичного корня, которая дает максимальную ошибку в несколько единиц пятого десятичного знака.
Вычисление Xа ДЛЯ g(xal v) за пределами табл. 26.8
Пример 13. Найти значение уД для которого
StX31 144) - 0.01.
Поскольку V = 144 лежит за пределами табл. 26.8, то для вычисления можно использовать 1) асимптотическое разложение Корниша — Фишера 26.2.50 для у/, 2) кубичную аппроксимацию 26.4.17, 3) улучшеппую кубичную аппроксимацию 26 4.18 или 4) квадрашчную аппроксимацию 26.4.16. Ниже рассмотрены все четыре метода.
1. Асимптотическое разложение Корниша —Фишера 26.2.50.
Асимпт отическое разложение Корниша — Фишера для Xа с V = 144 имеет вид
Xе Я 144 + 12 ^XA-Ah1(X)+ 4^ft2(X) + Ih11(X)] +
+ -J82TEeAs(X) +Uxi(X) + 2hni(x)l + х
X [30й4(х) + 9Ых) + Шп(х) + 6hm(x) + 4А1Ш(х)]. 752
26 распределение вероятностей
Используя далее вспомогательную таблицу, следующую за формулой 26.2.51, с р = 0.01, найдем
144 OOOO 39.4794 2.9413 -0.0242 -0.0019 + 0.0002
2. Кубичная агшроксимания 26.4.37.
Беря Xo.oi = 2.32635, получим
144
2~] + (2.32635) У^}3
9(144) J
3. Улучшенная кубичная аппроксимация 26.4.18.
Применяя линейную интерполяцию, из таблицы значений Ali0 для Y ^ 2.13 приближенно получим
Aao = 0.0012 и А, следовательно, Xй= »44 I 1
- (0.0012) - 0.00049,
144 [l - -S71^ri + <2.32635 - 0.00049)
У 9(144)]
4. Квадратичная аппроксимация 26.4.16.
Y2 = — [2.32635 + V 2(144) — I]2 = 185.616. 2
Ответ с 3D равен у" = 186.394. В общем, улучшенная кубичная аппроксимация в области v > 30 дает результат с ошибкой во втором или третьем десятичном знаке.
Вычисление неполной гамма-функции
Пример 14. Найти значение
Г(2.5, 0.9) = J е-'с15 dt,
используя 26.4.19 и табл. 26.7. Используя 26.4.19, получим
Y(2.5, 0.9) = Г(2.5) P (1.8 I 5) - Г(2.5) [1 - 0(1.8 | 5)1
Т(2.5, 0.9) = - Yv [\ - 0.87607] 0.16475. 4
Распределение Пуассона Пример 15. Найти значение т, для которого
е-» =0.99,
используя 26.4.21 и табл. 26.8.
Из табл. 26.8 с v = 2с = 8 ъ Q — 0.99, найдем %2 — = 1.646482. Следовательно, т = xs/2 = 0.823241.
Функция, обратная к неполной бета-функции
Пример 16. Шити значение дг, для которого IM 6) = 0.1, используя табл. 26.9 и 26.5.28. Используя 26.5.28, найдем
/Ж(Ю, 6) = Q(F\ 12, 20) = 0.1, где а —-—----
20 + 12^
Из табл. 26 9 находим, что верхняя 10%-ная точка F распределения с 12 и 20 степенями скободы равна F= 1.89. Следовательно,
л = ---------в 0.469.
20 + 12(1.89)
Значение л; с 4D равно 0.4683.
Вычисление Ix(a, /У), когда а или b — малые целые числа
Пример 17. Вычислить /0іХ(3,20).
Значения 1х(а, Ъ) для малых целых значений я или b удобно вычислять, используя 26.5.6 или 26.5.7. Используя 26.5.6, найдем
> U20.3H J-0^j Vt-D-H <Ш-ЖЗ, 20)1,? Ь ; 20 + ,'Г
0.121576
- (0.110390- IO-2) - 0.620040.
0.216450- 10-'
Биномиальное распределение Пример 18. Наііти значение п. для которого
g (^^" = 0.95, 5=1
йспользуя табл. 26.9 и формулу 26.5.24. Применяя 26.5.24 и 26.5.28, имеем
где
V1 = 2(л - а + 1), v. = 2а,
а + (и - а + 1) F
Следов ательно,
SO--SO-
= 1 -CCl 60, .42) .»0.95.
Гармоническая интерполяция по V2 в таблице для QWv,, Va) =0.05 дает F = 1.624 для V1 - 60, v, = 42, следовательно, 1
42
42 + 60(1.624) Значение с 4D есть р — О.ЗООЗ.
• 0.301. 26.9. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ И РАСШИРЕНИЕ ТАБЛИЦ
753
Аонроксина ция неполной бета-фуикцни
Пример 19. Найти /0.Я0(1б, 10.5), используя 26.5.21.
Значения 1л(а,Ь) удобно вычислять, используя аппроксимацию 26.5.20 или 26.5.21. В данном примере имеем (а + Ъ—1)(1 — х) — 10.2 > 8, следовательно, нужно применять 26.5.21. Имеем
Wl = [(10.5) (0.60)11'3 - 1.8469, иъ = [16(0.4)]1'3 = 1.8566, = 3 [(1.8469) (0.98942) - (1.8566) (0.99306)] ^ _ V ' (і.8469)- (b8566)^1J/a
3.5 + 16 J
Г (1.846'
L 10.5
Интерполируя в табл. 21.1, получим
Р(-0.0668) = 1 - Р(0.0668) = 0.47336. Ответ с 5D равен 0.47332.
Интерполяция F в табл. 26.9
Пример 20. Haifra значение F, для которого Q(F\ 7,20) = 0.05, используя табл. 26.9.
Табл. 26.9 допускает приближенно линейную интерполяцию по обратным величинам степеней свободы v1 и v2, т.е. по величинам l/vx и l/vai В данном примере необходимо интерполировать только по I / V]. Линейная ищ ер по ля ция но IZvl дает результат F = 2.51. В данном случае линейная интерполяция являє 1СЯ точной.
Вычисление F для Q(F\ V1, v2) > 0.5
Пример 21. Пай ги значение F, для которого Q{FI 4, 8) = 0.9, используя 26.6.9 и табл. 26.9.
В табл. 26.9 помещены только те значения F, для которых Q(F I vXj Vi) =р при р =0.500, 0.250, 0.100, 0.040, 0.025, 0.010,0.005,0.001. Однако, используя табл. 26.9, можно наііги значения F, для которых р — 0.75, 0.9, 0,95, 0.975, 0.99, 0.995, 0.999.
