Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Точки перегиба плотности вероятности имеют абсциссы
M ± О.
Разложении в степенной ряд (х is 0)
(-1)* х'™
26.2.10. Р(х) = J-+ -,-L- у^
2 427! 4?, n!2"(2n + 1)
26.2.11. = - + Z(x)
l-3-5...(2n+ 1)
Асимптотические представление (х > 0) 26.2.12. Q(x) =
^ = (-1)^1.3...(?+!)^-^-А.
Остаток Rn по абсолютной величине меньше первого отброшенного члена.
26.2.13. Q(x) ~ ™ j 1 - + -г—^-г---
X i x1 + 2 (ха + 2) (*« + 4)
(х2 + 2) (і3 + 4) (х1 + 6)
"I'
где (I1-I, Я2 = 1, Я3 — 5, A4 = 9, в5 - 129 и обший член
имеет вид
и„ = C0I ¦ з ... (2и - 1) + Ic1 1-3 ... (2л - 3) +
+ 2гс,1 • 3 ... (2и - 5) + ... + 2"с,-,,
Cs есть коэффициент при tn's в разложении функции t(t — 1)... ...(;-п + 1).
Гат.тжсннл в непрерывные дроби
26.2.14. Q(x) = Z(x) I —------------— ... 1
I*+*+*+*+ X + I
(х > 0).
J Jf- uil ii! 1
І 1 — 3 4- 5-7+9 - "j (х Э 0).
26.2.15. Q(x) - — -Z(x) 2
Полиномиальная и раннональяая аппроксимация
для Р(х) И Z(x)
26.2.16. Р(л-) - 1 - Z(x) (ait + astz + о/1) + е(х),
t = 1/(1 + рх),
I E(X)I < 1 ¦ IO"5. р = 0.33267, O1 = 0.43618 36, а, = -0.1201676 и, = 0.93729 80.
26.2.17. Р(х) - 1 - Z(x) (bit + Jj 1» + 6а(8 +
+ V + V) + <х), t = 1/(1 + рх),' I е(х) I < 7.5 • 10-», р = 0.23164 19, 6, = 0.31938 1530, Ь,= -1.82125 5978, 6,= -0.35656 3782, J5 = 1.33027 4429. Ja = 1.78147 7937, 26.2.18. Р(х) = 1 - - (1 + C1X + с**? + 2
+ C3-X8 + C4X4) 4 + с(-ї),
I e(x)| < 2.5- КГ", ' C1 = OJ 96854, с = 0.000344, ca =0.115194, с, = 0.019527.
26.2.19. P(x) = 1 - - (1 + Il1X + diX* + Ax8 +
2
+ dtx> + dtx> + d„x'r" I- <x), І e(x)| < 1.5- 10"', d1 = 0.04986 73470, J1 = 0.00003 80036, d, = 0,02114 10061, rfs = 0.00004 88906, <(з = 0.00327 76263, d, = O.OOOOO 53830.
26.2.20. ZM = (a0 + Otx' + Ci1X1 + щх'Т1 + e(X),
I s(x)l < 2,7-10-', oo = 2.490895, O4 =-0.024393, at = 1.466003, a, = 0.178257.
26.2.21. Z(x) = (i.» + V + J1X4 + (.,Xt +
+ S8X8 + iwx1»)"1 + «(*).
I s(x)| < 2.3 ¦ 10~4,
io = 2.50523 67, b, = 0.13064 69,
bs - 1.28312 04, 4e = -0.02024 90,
i>4 - 0.22647 18, J10 = 0.00391 32.
Рациональная аппроксимация для Xp, где Q(xT) = p (0 <pn 0.5)
"^'-TWTsr^
I S(P)I <3-10-", Oo = 2.30753, w = 0.99229, aj = 0.27061, Js= 0.04481.
C0 + Cil + Cst2
26.2. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
с, ~ 2.515517, rfi =» l.«27»8,
C1 = 0.802853, t/a = 0.189269,
C8 = 0.010328, tf, = 0.001308.
729
26.2.23. Xp = г —
1 + 4( + <4(г + rf3<8
H-
Ie(P)I < 4.5 • IO-4,
Границы для функции нормального распределения 26.2.24.
P(X)«
Pi(X) ¦
1 + 1(1- г"-'")1"
2 2
(х > 0),
(4 +x«)"s - X
ад -1
і
(х > 1.4) (см. рис, 26.1 для кривых ошибок).
(2 Tt)-:
26.2.25. Р(х) S = 1 + 1
-2^/п _ 2(7Т — 3) ^4 З JTa
!j1« (X > 0),
P1X= 1 - -і (2я)-"! е~'чг (х > 2.2).
0.002 O
-В. OOZ
, Рга>-Р<гі
OA as г^-пз.2 х
я,® -л®
Рис. 26.1. Кривые ошибок для границ нормального распределения.
Производные плотности вероятности нормальної^ распределения
26.2.26. ZimHx) - — Z(x).
dx-
Дифференциальное уравнение
26.2.27. Z<"«)(x) + xZ<™+l)(x) + (т + 1) ZW(X) = 0.
Значение в точке х = 0
26.2.28.
(~l)""ml
для т — 2r, г = 0, !,...,
ZC">(0) = I V** 2»'!(т/2)!
I 0 для нечетных т > 0. 72.2
26. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Выражение некоторых
Р(х)
специальных функций через
и ZCJ(X)
26.2.29.
26.2.30.
Функция оши-
Неполная гам-ма-функция (частный случай)
Полином Эрмита
Полином Эрмита
Функция Hh
Функция Нк
Тетрахори-ческая функция
Вырожденная гипергеометрическая функция (частный случай)
Вырожденная гипергеометрическая функция (частный случай)
Вырожденная гипергеометрическая функция (частный случай)
Вырожденная гипергеометрическая функция (частный случай)
Функция пара-
болического
цилиндра
erfX — 2Р(х ^2)-1 (х>0)
(xs 0) Z(x)
Hea (х) = (-1)"
Нп(х) =(- 1)" 2'" -- _ Z(x-i 2)
Нк-,(х) -
(л >0)
Hh,(x) = = нЫх) *L ffiW)
Ii! dxn{z(x)l
(її > 0
-«(х) = -^—І z<»-i>(x) Vn!
(х > О)
Лі. 2. _ = I 2 2 2 ]
'0-1- І)
xZ(x) I 2 I
(*>0)
/рїїіі, і,
= ZV)(x) Zl-mI(O)
,p-il, 2, -^j =
(*!»0)
= ztimjlW
xZ(!"4(0)
'C—
(x>0)
2l'W (" > 0)
Повторные интегралы от интеграла вероятностей нормальної о распределения
26.2.41. In(z) -J f„-i(t)dt (пэО),
где Irl(X) = ZW.
26.2.42. I-Jx) -
ИГ—
= (-Iy-IzM(X) (п>-1).
26.2.43. f^; + X^ -n)ljx) = 0. Kdxi dn J
26.2.44. (и + 1) I,+1(x) + xln(x) - /,-,(*) = О
(п> -1)
26.2.45. Ux) - (j Z(() dl
= е-*"'2 [ — Z(/) dt (л>-1). J я!
26.2.46. /„(О) - /_»(0) =
1
(л/2)! 2<"+"2>
(« — четное)
Асимптотические разложения произвольной плотности вероятности и функции распределения
Пусть Yt (I -- 1,2,.... п) означает п независимых случайных величин со средними значениями mi, дисперсиями Cj и семиинвариантами У-г. і. Тогда асимптотические разложения относительно п для плотности и функции распределения нормированной суммы
