Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
S (Yi - ті)
I " Л"
UofJ
26.2.47. f(x) ~ Z(X) -
- Z<»>(*)] + Z(iXx) + Л z(.,Wj _
. ГJfs- ZW(X) + ZOi(X) + -Л- Zl')(x)l + L 120 144 1296 J
Г Jt ZO(X) H- Ji-ZI')(x) + ZCl(X)I + [720 1152 720 J
. + Z(1^)(X)+ Z<I!>(x)l + ...
1728 31104 J 56.3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 731
26.2.48. F(x) ~ Р(х) -
_ j^Ji. z<4*>] + ^m(X) + ZO(X)J -
_ Г J«_ ZW(X) + ZO(x) + z<»)(x)] + Lno 144 1296 J
+ Г Ji- ZC(X) + -Ji- Z"l(x) + J^ ZPl(X) -I-L 720 1152 720
+ Jfc-ZW(X) + - JL Zt11I(X)I + ..., 1728 31104 J
е
. - . (ІДЧ
(і » v
7 ,И
Члены в квадраті г ы.v скобках имеют- ojhh и тог же порядок относительно л. Если все Yi имеют одинаковое распределение, то mi = т, aj = <т% х.Гі{ — v.T и
ш-
Асммігготнчеекое представление для функции, обратной к функции распределения
Обозначим F(y) функцию распределения суммы Y --
— V^ Ti. Тогда асимптотическое разложение Корниша
— Фишера относительно и для значения ур, определяемого из уравнения /'(.Pw) — 1 — /', имеет вид
26.2.49. yv~m -f ew,
¦ * + [ТАМ] + IrA(X) + rffciWJ +
+ [їзАз(х) + YiTsftii(X) + Y?Aln(x)] + + IyAW + YaMx) + YiYaftis(X) +
+ YiYsAiis(X) + ТЇАші(х)] + ...,
Є(х) = р, Yr-i = -?- • r = 3, 4, ...
26.2.50. Аі(х) - -«х) - ¦ hn(x) =
¦ Het(X),
- Het(X),
PWca(X) + Яеі(х)],
а.(х) - [hc1(x)],
1^0
Ац(х) -
- [Нс.(х) + HeMl
Л,і,(х) = — [12 Hel(X) + 19Не„(х)1, 324
Іф) — Hes(X), 720
АІІ(Х) -
- [З Hes(x) + 6Hes(x) + 2Яеі(х)],
Itvl(X) - — [2Яе,(х) + ЗЯе3(х)], 180
Аці(х) -
288
Аші(х) ---
- [14Яе„(х) ~ гінеях) + 8Яеі(х)1,
- [252ffe,(x) H- KlHe1(X) +
+ 227Яе1(х)].
Члены в квадратных скобках 26.2.49 имеют один и тот же порядок относительно п. Неп(х) означает полином Эрмита (см. гл. 22).
26.2.51. Цеп(х) = (-1)" =
Z(x)
(-Dm
^0 2mm\(n- Im)!
Следующая вспомогательная таблица дает значения полиномов A1(Jc). h,(x).....A1111Cx) для р =0.25, 0.1, 0.05, 0.025,
0.01, 0.005, 0.0O25, 0.001, 0.0005.
Вспомогательная таблица для асимптотического разложения Корниша—Фишера (взяга из работы: Fisher R. A. Contributions to mathematical statistics. Paper 30 (with E. A. Cornish). — Extrait de la Revue de L'Institute International de Statistique, 1937, 4, p. 1—14).
P
0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 o.ool 0.0005
X 0.67449 1.28155 1.64485 1.95996 2.32635 2.5758 і 2.80703 3.09022 3.29053
Ai(x) 0.09084 0.10706 0.28426 0.47358 0.73532 0.93915 1.14657 1.42491 1.63793
Az(x) -0.07153 0.07249 0.0201 S 0.06872 0.23379 0.39012 0.57070 0.84331 1.07320
An(x) 0.07663 0.06106 0.01878 0.14607 0.37634 0.59171 0.83890 -1.21025 — 1.52234
A,(x) 0.00398 -0.03464 - 0.04928 -0.04410 -0.00152 0.06010 0.14841 0.30746 0.46059
A12(x) 0.00282 0.14644 0.17532 0.10210 -0.17621 -0.53531 -0.02868 -1.89355 -2.71243
Ani(x) -0.01428 -0.11629 -0.11900 -0.02937 0.25195 0.59757 1.06301 1.86787 2.62337
A1(x) 0.00998 0.00227 0.010S2 - 0.02357 -0.03176 0,02621 -0.00666 0.04591 0.10950
Aa(x) -0.03285 0.00776 0.05985 0.09659 0.07888 -0.01226 -0.19116 - 0.59060 -1.03555
A,i(x) -0.05126 0.01086 0.09462 0.16106 0.16058 0.05366 --0.I7498 -0.70464 --1.30531
Aiiifx) 0.14764 -- 0.10858 -0.39517 -0.55856 -0.32621 0.35696 1.60445 4.29304 7.23307
Aiin(x) 0.06898 0.09585 0.25623 0.31624 0.07286 0.46534 -1.39199 -3.32708 -5.40702 72.2
26. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
26.3. ДВУМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ где
26.3.Х. g(x, у, р) -
- [2* Vf^V ехр - j ^ ~2fxy + / j
26.3.2. six, у, р) - (1 - рVZ(X)Z [^?"=] '
26.3.3. ДА, к, р) = J dx J g(x, у, p)dy,
h h
L(h, к, р) = J Z(x) dx ^ Z(w) dw, Ь а/
й k
26.3.4. L(-h,~- к, р) = j dx j g(x, у, р)dy.
26.3.5.
L(-h,k,- p)- 5 dx y, p)dy.
26.
3.6. L(h, -k, -p) = J dx J g(x, y, p) dy.
26.3.7. Hh, k, p) = Uk, h, p).
26.3.8. Д—A, k, p) + L(h, k, - p) = Q(k).
26.3.9. L(-U, -k, p) - L(h, k, p) = F(k) - Q(k).
26.3.10. 2[L(h, k, p) + L(h, k, - p) +
h Ъ
+ F(h) - Є№)] -1= [dx C g(x, y, p)dy. -k —k
Двумерное нормальное распределение со средними mz, my, ДІІСіїерСМЯМИ aj, Cy и коэффициентом корреляции р
Случайные величины X. Y имеют двумерное нормальное распределение со средними (тх, ту), дисперсиями ((т?, и коэффициентом корреляция р, если вероятность события {X =? It, Y * к) дается соотношением
26.3.11. PrfA1S h, YS, к} =
ft—от* k — тц
»— ( [ g(s, t, p)dsdt = J J
M f, )• •)¦
Соответствующая плотность вероятности имеет вид
26.3.12.
ItzcxGu V 1 - р8 2(1 - р2)
(х — тх у — ту
CT1Ojr It Gg Cy
Q = (* - ™хТ __ 2p(jc— тх) (у - ту) (y—mvf ^ Плотность кругового нормального распределения
26.3.13,
Шх У — ту
- —L ехр _ (х ~ т'У + (у - тиУ
' 2™' Ъ?
Чястиые значения ДА, к, р)
26.3.14. L(h, к, 0) =Q(K)Q(K).
26.3.15. L(h, к, -1) = О (A t к 3> 0).
26.3.16. L(h, к, - 1) = P(Ii) - Q(L) (h + к ч 0).
26.3.17. L(h, к, 1) - Q(h) (к А).
26.3.18. L(h, к, 1) =Q(K) (к г А).
26.3.19. ДО о ?) = -!- + "°'"Р.
4 Ir.
L(h, к, р) как функция от L(h, 0, р)
(?А - Ar)(sgnA) I
