Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
" [1 2 + 2г'1"»
19 (2+ra)aJ
Xt = R — — 1. Rwr— большие.
26.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ХИ-КВАДРАТ
Неравенство
< Uh, к, р) < (2(h),
где ph - к > 0, 0 < р < 1.
Разложение в ряд 26.3.29. L(h, к, р) =
-тем + ^^w^ffl P-
fr* (и + 1)!
л
26.4.1. Р(хв1 v) - [2^(v/2)]-1 J г4'2-1 е~"а Л
о
(О < Xі < оо).
26.4.2. QiyJ1I v) = I-P(XsIv) =
= ртГ^/г)]-1 J Л'3"1 е-"2 dt (0 < t < оо).
Xt
Связь с нормальным распределением
Пусть Jf1, X.., ...,Xyj — независимые одинаково распределенные случайные величины, каждая из которых имеет нормальное распределение с нулевым средним и единичной
дисперсией. Тогда величина Xі = ? Xf имеет распределение
хя-квадрат с v степенями свободы и вероятность выполнения неравенства X3 «S х'" дается выражением P(XaIv)-
Семиинварианты
26.4.3. = 2n n!v (л = О, 1, ...).
Разложения в ряд
26.4.4. ?(xaJ V) =
(V-1I/2
= 2?(x) + 2Z(x) g ^iX
v2r-l
.. (2г - 1) (v — нечетное И X
__ f <*"І>/2 vsr 1
26.4.5. QCxsI V) - V2* Zfe)I 1 + ? 2.4X C2r) }
1 \v/2 e~x>fz
(v —• четное).
26.4.6. P(x21 v)
4M (, + ?<
T[(v -I- 2)/2) Xі'
> + 2) (v + 4)... (v + 2'r) j
26.4.7. P(xs I v)= —— V -
T(v/2)?4 и !(v/2 + и)
Рекуррентные н дифференциальные соотношения
-/'/і
26.4.8. й(-/1 V f 2) - 2(xa I V) + ' + ^ .
26.4.9. ^!WM „ J- f - M (-!)« Qtf | „-2Д
Разложения в непрерывную Дробь
26.4.1». C(X1)I V) = Ш—?-— x 2"'T(v/2)
x J 1 I - "/2 і 2 - v/2 2 1 U72+ 1+ Xа/2 + 1+ Х72 + -Г
Асимптотическое распределение для больших v
26.4.11. Р(ха| v) ~ P(x), где X =
V2v
Асимптотические разложения для больших X3
26.4.12. e(x'!v)~ (-/'Г'"- 1C-1'1'- A , ,., Г( I - v/2 + Л 2І+1
---" P (-IjJi---
2""ГЫ2) fa> r(l-v/2) (Xi)'
Аппроксимации распределения хи-квадрат для больших v
Аппроксимация
26.4.13. Sfe2I v) я S(X1), Xi = Vv - V"2v - 1
26.4.14. ?(xa|v) «2(x«),
V (x7v)"3 - [1 - 2/(9v)] Tm
26.4.15. ?(x! I v) Є(х, + К),
К
Уем
V > 100
60 ь : - «во
Значения h.r
X ft.o X
-3.5 -0.0118 -1.0 + 0.0006 + 1.5 -0.0005
-3.0 -0.0067 -0.5 0.0006 2.0 -) 0.0002
-2.5 -О.ООЗЗ 0.0 + 0.0002 2.5 0.0017
-2.0 -0.0010 +0.5 -0.0003 3.0 0.0043
-1.5 +0.0001 1.0 -0.0006 3.5 0.0082 72.2
26. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Аппроксимация обратной функции для больших v Если Q[-j% 1 v) = р и Q(xv) = 1 — P(Xp) — р, тогда Аппроксимация Услочие
26.4.16. xj « Y {хр + i/Si^l}2 V > IOO
26.4.17. х5 к v|l - ~ + !„VW^j3 *> 30
26.4.18. у* к V j 1 - +(л:, + Av) V2/(9») v>30, где A4 задается соотношением 26.4,15.
Связь с другими функциями
26.4.19. Неполная гамма-функция:
Y(o. х)
Г (а) Г(а, х) Да)
= ^fx8I v),v -2а,х' = 2х,
- в( Xs I V).
26.4.20. Неполная гамма-функция Пирсона:
«Vf+I
'(", J>) - ' „ ( >"е-' dt = Ptf I V),
Г (р - 1) J
о
V = 2(р+ 1), Xs - 2uVpTT.
26.4.21. Распределение Пуассона:
т1 v Xа
0(у I v) — > «-» —, с ~ —, т -- — (v — четное),
/Д Л 2 2,
Stf 1 ») - Stf I V - 2) = г-» •
(с - 1)!
26.4.22. Распределение Пирсона IIl типа:
[тГ И1=j^lvx
ч -2ab Л- 2, Xs — 2b(x + а).
26.4.23. Неполные моменты нормального распределения:
j InZ(I) dt -
((л - 1)!! („ _ ,етное),
2
(п- 1)!'
/'(/2 ] V) (п — нечетное)
I л/2*
(Xа = I8, v = n+ I). 26.4.24. Обобщенные полиномы JIareppa:
BliS0W -
"?(-i)»+if"+ 1Iax1Iv + 2- гл
І-0_I J 1_
2"[?(x21 V + 2) — Q(xz і v)] (x - Xа/2, «с = v/2).
Нецентральное х3-Распределение 26.4.25. Р(х" I V, Xj-
" -\I2 (WV
¦Е*
J-O
Л
PiX'1 I V + 2Д
где X > 0 называется параметром не центральности.
Связь нецентрального "//-распределения
с V = 2 с интегралом вероятностей кругового нормального распределения (о- = 1), взятым по кругу с радиусом R и центром на расстоянии г — л/х от начала координат (см. 26.3.24 — 26.3.27)
26.4.26. ЭДуСх, у, tydxdy= Р(у: = R2 \ V = 1, X) =
H w
-Q(RS 12 + 2J).
Аппроксимация нецентрального //-распределения
(а = V + X, Ь = X/(v + л))
Аппроксимирующая функция Аппроксимация
26.4.27. Xs-распределение Р{у" | v, X) « Р\ — v*|.
U + ь I J
26.4.28. Нормальное распределение
26.4.29. Нормальное распределение
1 + Ъ
Wl V, Х)«Р(х),
f
im
W I V) Я J°W,
Аппроксимация обратной функции нецентрального -//-распределения
(Qite I V, X) = />, ?(x|| V*) = р и GCjc1,) = р)
Аппроксимирующая переменная
Аппроксимация обратной функции
26.4.30. X3 х? « (1 +Ь)х*
26.4.31. Нормальная Xp » ¦ & + ^ TT^T ~
26.4.32. Нормальная
»4 -Vim-T ml Свойства распределений хв-квадрат, нецентрального хи-квадрат н связанных с ними величии
a = V + \ Ь = ф(г) = — In Г(г), ф s(z) = — ф(2)
у + X dz dz'
Асимметрия Yi
26.4.33.
26.4.34. V2?
26.4.35. I v)"s 26.436. hl (x'l V)
26.4.37. Ґ
26.4.38. 42-х''
26.4.39.
<2v - 1)»»[1 + [16v(v - 1)1-4 + + O(Va)
1 - — + + O(V) 3% 3V
- O(V)
[2а -(1 + Ь)Р" + O(CTjk)
3а O 3s Hs
I-J---L + JL - O(V)
4v 8 V2 64Vа
3av 3'vs .
--1-] + 0((v - l)-s)
