Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
26.1.19. Вырожденное X = с (с — постоянная) р= 1 — 00 < С< СО І C 0 eict 1 Xi = c, хг = 0 ДЛЯ Г > 1
26.1.20. Биномиальное Xg = S (5 = 0,1.....л) 0 <р < 1 (ff - 1-/0 «P apq ч -p •Inpq 1 - 6p<( npq (9 + PeitT ' Xi = np dKr xr+i-рг — dp (г S 1)
26.1.21. Гипер-геоме-триче-CKOC Xg = S 0,1,... ...,ITiin(BA1) (?](*.] m N1 я N2- целые и и < JV1 + N, (JV = JV1 + JVa, P = NJN,q = NJN) np CN- n"i wI^TJ q - PVfTltN-2n\ іїй V JV-« vJV— 2 j сложное выражение n C) -JV1; JV8-л-f + i; e") сложное выражение
26.1.22. Пуассона Xs = S (S = -0,1,2,...,оо) е~тт" Sl 0 < m < Oa m m пГ1л »Г1 xr = m (г - 1, 2, ...)
26.1.23. Отрицательное бИНОМИ- альное Xs = S (s—Oj 1,2,... ...,м ) ("T1K -рУ n & о, о < г> < і (р - 1 IQ, I-P = PIQ) nP nPQ 5 + p V^e I + 6 PQ nPQ (g - Pe»y• х, =пР „л dytr xw=PQ ~ dQ (г>1) .
26.1.24 Геометрическое Xg = ц (5 = 0,1,2,.. Ki -рГ 0 <p < 1 1 -p I-P P® 2-p 1 -P Ml-(I-P)e"]-1 I-P x, = - P Хг+1 = = -(I-P)^ ар (г ? 1)
P Некоторые одномерные непрерывные функция распределены
Распределение Область значений Плотность вероятности Ограничения I на парамегры Среднее Дисперсия Асимметрия !Характеристическая „ Эксцесс , функция Семиинварианты
26.1.25. Функция ошибок -OO < X <00 h с-ъ*х* VK 0 < А < OO 0 1 Ih1 0 I 0 у-1 = 0, K2 = —"ГJ Iht х, - 0 (л > 2)
26.1.26. Нормальное — СО < X <00 — оо < т < со 0 < а < со т O2 0 0 imt—u't'll Ki —т, K3 = о2, к, = 0 (и > 2)
26.1.27. Коши — OO < X <00 — оо < а < оо 0 < ? < оо не определено не определено не определено не определено ,м-т не определено
26.1.28. Показа« теяьаое a X < со IAiT) р — со < а < оо 0 <? < Oo а + Э P2 2 6 е""0 - VtT1 к, = « + ?, х.= ртГ(і,)(>і>1)
26.1.29. Лапласа, или двойное показательное — со < х <сс — х < а < оо 0 < ? < оо а 2?2 0 3 е'«'(1 + ?af2)-1 Ki = и, Ks = 2?!, _ (2и)! 21| п (л - 1, 2, ...)
26.1.30. і V - Крайних значений *) (Фтоера — Типпета I типа, или двойное показательное) -00< .Y <00 у ЄХр( у - <П») '('-Ti — со < а < оо 0 < ? < оо «+y? Wf 6 1.3 2.4 Г(1 - i?r) е'" (Tt?f Ki=T1Ka= G K„=?»r(n) I -L 1 Г (п> 2)
*) T (постоянная Эйлера) = 0.57721 56040 ... (продолжение)
Распределение Область значений Плотность вероятности Ограничения на параметры Среднее Дисперсия ; АсвмметрнЯ Этеиесс Характ ерист и • ческая функция Сем HHRBapHa ніы
26.1.31. Пирсона UI типа « ^ X < OD -L-уТ-1е и — 00 < а < оэ 0 < 0 < оо p?' 2 Tp 6 p е™(1 - ФУ Xi = ot + у.» = №и)
I-iTiJ 0 < р < QO («> D
26.1.32. 0 sS Y < OO 0 < р < оо P P 2 6 (I - /г) * Jil = Р,
Гамма-распределение Г(Р) •ІР p Xn = рЦ и) (Я>1)
26.1.33. 0 sa ж < 1 —— Xt-V -Xf-1 В(«,Р) 1 « а < 00 я «р - ?) см. сноску М(а, ОС -I ?, її)
Ъета-рае-пределение ! < Э < оо oc+? (и+йЧи-р+О («+?+2) *)
26. Т.34. Прямоугольное, или равномерное А т--< 2 h ї- A" ^ т і-- 2 1 h — оз < m < оо 0 < А < оо m 12 0 -1.2 - si f*tU— ht UJ X1 = W, x..Bfj = 0, h2nB2„ Xan-- ' 2и Bi л — числа Бер- нулли, Bz — — . 6 30
* .T!= ] ja+J+І і 3(« + э +. 1) И« + да + «&(<* + P -®i Д.
•Ф 1 «?(st + ? + 2) (а + ? + 3) J 26.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА
727
Неравенства для функций распределения
(F(x) означает к.ф.р. случайной величины X, г — положительную постоянную; предполагается, что ж конечно и все
математические ожидания существуют.)
Неравенство Условия
26.1.35. Pr {jtUO > t} s: EIg(X)Vt і. «№ э о
26.1.36. Pr {Х& 1} < m/t т F(I) > I. Px {.r< 0} = 0 II. E(X) = m
26.1.37. Pr {1 X - т I 5= to} < 1 /1' F(m + to) - F(m - to) ї 1 - 1/(' I. E(X) = m II. E(X- mf = o*
26.1.38. Pr {1 X - m I & 10} S 1 Inlt I. E(Xt) - mt II. E(X, - mif = of III. E(Xi - mi) (X, - mj) = 0(i ф J) IV. X - X^Jln in = У^ mt j !n afJ7ji]11'
I , + у j 26.1.Э9. РгЛЛГ- nil & to} « - J ------- I [.4.(-")' I F(m + to) - F(m - to) & 1 - — J -----— I 9IH^r] I. E(X - mf = O2 II. F(x) — непрерывная к.ф.р. III. F(x) такова, что /"Oo) > Ff(X) для X Ф X0
26.1.40. Pr {1 X- ml & to} < 4/(91') F(m + to) - F(m - to) & 1 - 4/(9(') I. Е(Х- mf = с3 II. F(X) — непрерывная к.ф.р, III. F(x) такова, что /"(*о) > /"(л) для X Ф Хъ IV. т == Xо
26.1.41. Pr {! X- ml & to} < -~ "*-- Ц, + (V - W FOn + to) - f(m - to) г* 1--- ¦ іл4 + lV - 2(V I. Е(Х- mf = с2 II. Е(Х - т)* =» 72.2
26. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
26.2. НОРМАЛЬНОЕ, ИЛИ ГАУССОВСКОЕ, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
26.2.1. Z(x) =
V2it
!.2. Р(х) = -JL= ^ e"''12 dt = ^ Z(t) dt.
26.2.3. Q(x) ™ ^ e m <"= J Z(I) dt.
26.2.4.
Л(х) - j e-'''2 Л - j Z(f)dt.
26.2.5. + Q(x) = 1.
26.2.6. P(-x) =Q(x).
26.2.7. a(x) = 2P(x) - 1.
Интеграл вероятностей со средним значением т н дисперсией с'
Случайная величина X имеет нормальное распределение со средним чначением т и дисперсией если вероятность события {У < х) определяется формулой
26.2.8. Pr {X sa *}
о У2к J
,-«-»OW dt.
V*
(*-«)/а
L $ е-'2 dt =P
Соответствующая плотность вероятности имеет вид 26.2.9.
8л
'(iT5)-H-)-
_ _I___е-(х—т)Щаг
а
Эта функция симметрична относительно т, т.е.
'f\;v) гл-
