Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
11. Прогрессии в «Десятикнижье» и у Цинь Цзю-шао
Прогрессии, арифметические и геометрические, встречаются в истории математики с самых древних времен у разных народов. Это были задачи-загадки, задачи развлекательного характера, в которых задавалась некая «красивая» последовательность чисел. В древнеегипетских текстах, например, встречается запись, которую можно трактовать как задачу о семи домах, в которых по семь кошек, а каждая кошка съедает семь мышей, и т. д., т. е. как задачу на геометрическую прогрессию со знаменателем 7 [30, с. 59—65]. Ее решение представляется в виде
7+72+73+74+75=7 (1 + 7+72+73+74).
150
Задача, близкая этой, содержится в «Математическом трактате Сунь-цзы». Она сформулирована в виде задачи-загадки, но со знаменателем прогрессии, равным 9:
}У- «[Если] выйдешь за ворота, взору открывается 9 плотин, на [каждой] плотине по 9 деревьев, на [каждом] дереве по 9 ветвей, на [каждой] ветви по 9 гнезд, в [каждом] гнезде по 9 птиц, / [каждой] птицы по 9 птенцов, у [каждого] птенца по 9 перышек, [каждое] перышко 9 расцветок. Спрашивается, сколько каждого?» [49, с. 38]. Здесь каждый член прогрессии 92, 93, 94, 95, 9б, 97, 98 определяется непосредственно умножением. «Способ: установи 9 плотин, умножь это на 9, получишь число деревьев; умножь это еще раз на 9, получишь число ветвей» и т. д. [Там же].
В древневавилонских текстах, относящихся к XVIII в. до н. э., также обнаружены задачи на арифметические прогрессии с нахождением суммы ее п членов по правилу:
о _„ а>\ + ап
Ьп — П-— э
где Й1 и йя — первый и последний ее члены [21, с. 94]. Известна задача на свойства прогрессии, исследованная О. Нейгебауе-ром [56, с. 195—196]. Древние вавилоняне умели суммировать также геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2, и ряд квадратов чисел от 1 до 10 по формуле
1 +22 + 32+...+»2=(| + п|)(1+2+...+»).
Последние примеры находятся в позднем селевкидском тексте [23, с. 105; 21, с. 94-95)].
Древнекитайские задачи на прогрессии ценны тем, что по ним можно проследить создание методов их решения. Видно, какие немалые затруднения вызвало, например, освоение понятия разности арифметической прогрессии. Сначала для него не было термина, хотя оно уже употреблялось. Правило суммирования п членов арифметической прогрессии в древнекитайских текстах появляется довольно поздно, только в трактате Чжан Цю-цзяня (V в. н. э.), но, видимо, его знали несколько раньше. В задаче 19 книги VII «Математики в девяти книгах», где нужно просуммировать 15 членов прогрессии [50, с. 497—498], вряд ли это производили непосредственно. ^
Первоначально прогрессии играли довольно скромную роль упомянутых выше «чисел-ступеней», пропорционально которым производилось деление заданного количества. В таких задачах свойства прогрессий оставались, по существу, не использованными. Даже в трактате Чжан Цю-цзяня наряду с «настоящими» задачами на прогрессии приводятся эти задачи на пропорциональное деление. Однако они более сложные, последовательности в них более разнообразные.
В большей степени свойства прогрессий выявлены в задачах книги VII «Математики в девяти книгах» на правило двух ложных
151
положений, где они употреблены для задания ежедневных скоростей роста или движения. В задаче 11 сравнивается рост тростника (3, 3/2, 3/4, . . .) с ростом гороха (1, 2, 4, . . .); в задаче 12 — эффективность прогрызания стены толщиной в 5 чи двумя крысами: большой (1, 2, 4, . . .) и маленькой (1, 1/2, 1/4, . . .); в задаче 19 — скорости двух лошадей: рысака, пробегающего по 193, 193—13,..., и клячи, проходящей 97, 97—1/2, . . . (Все данные выражены в соответствующих единицах длины.) По сравнению с задачами на пропорциональное деление, где число членов прогрессии было всегда конечным, в этих задачах оно мыслится продолженным как угодно далеко, — последовательности не оборваны. Здесь также сопоставляются возрастающие и убывающие прогрессии. При небольшом числе членов (тг=3, 4) суммирование здесь, возможно, производилось непосредственно, хотя для задачи 19, как уже выше говорилось, это трудно представить.
К первым задачам на прогрессии можно отнести задачи 17—19 книги VI «Математики в девяти книгах», но их решение так или иначе сводилось к пропорциональному делению, при этом пользовались той же идеей числовой модели в виде «чисел-ступеней», что и в задачах на пропорциональное деление. И только гораздо позже в трактате Чжан Цю-цзяня мы находим задачи на прогрессии с «чистыми» методами.
В книге Чжана задачи поставлены четко: в них находится как сумма п членов арифметической прогрессии, так и число п членов по данным задачи. Здесь пользуются отчетливым понятием разности прогрессии, основными ее свойствами. При нахождении числа членов, однако, стараются не получать квадратного уравнения, для этого дают в условии дополнительно Б/п. Задачу об определении числа членов арифметической прогрессии в общем виде можно обнаружить лишь в книге Цинь Цзю-шао (XIII в.) «Девять книг по математике». 1 а
Сравнение задач «Математики в девяти книгах» с задачами Чжан Цю-цзяня выявляет переход от первых задач с прогрессиями к «настоящим» таким задачам.
