Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Специальный разбор задач на пропорциональное деление с исто-рико-математической точки зрения имеет на самом деле более глубокие основания. Это был очень широкий класс задач древней математики, интересовавший в равной степени древних китайцев, египтян, вавилонян, индийцев, не утративший значения в средневековой математике стран ислама, Европы. Пропорциональная зависимость была в полной мере освоена древними и вместе с методами, использующими понятие среднего арифметического, применялась для решения самых разных задач.
Мы не ошибемся, если скажем, что в математике древнего общества в основном рассматривались линейные зависимости. Остальные, нелинейные, сводились по возможности к первым. Например, подход к решению квадратных уравнений был сделан древними впервые в предположении, что для этого годится правило ложного положения, основанное на пропорциональной зависимости истинного и предположенного значений неизвестного. Но этим способом удается решить только неполное квадратное уравнение. Другой пример — прогрессии, также излюбленный предмет исследования в древней и средневековой математике, оказываются тесно связанными с методами, основанными на пропорциональной зависимости. Первые задачи на прогрессии, как это показано в п. 9, именно сводились к задачам на пропорциональное деление. Это особенно хорошо можно проследить по древнекитайским текстам математического «Десятикнижья» [16].
140
С задачами на пропорциональное деление в «Десятикнижье>> мы встречаемся впервые в книге III «Деление по ступеням» (чуй фэнъ) «Математики в девяти книгах», где пропорциональные числа названы «ступенями» (чуй), очевидно, потому, что почти во всех задачах в качестве них берутся члены прогрессий вида 1, 2, 3, 4, 5 или 1, 2, 4, 8, 16 и т. д.
Правило сформулировано в общем виде следующим образом:
«Каждому установи соответствующую ступень, сложи — это делитель. То, что распределяется, умножь на каждую [ступень], еще не сложенную с другими, это делимое. Объедини делимое и делитель. Если делитель больше делимого, то назови делитель» [50, с. 457] 15. Правило в точности соответствует приведенной выше формуле для искомых пропорциональных долей, на которые разбивается заданное число.
Задачи книги III «Математики в девяти книгах» весьма образны. В самой первой, «канонической», предлагается разделить пять оленей между пятью чиновниками разных рангов: дайфу, бугенъ, цзанъняо, шанцзао, гунши, доходы которых пропорциональны числам 5, 4, 3, 2, 1. «Имеется дайфу, бугень, цзаньняо, шанцзао, гунши — всего 5 человек. На охоте поймали 5 оленей. Спрашивается, сколько каждый получит, если разделить между ними по рангу? Ответ: дайфу получит 1 2/3 оленя, бугень получит 1 1/3 оленя, цзаньняо получит 1 оленя, шанцзао получит 2/3 оленя, гунши получит 1/3 оленя [50, с. 457]. Любопытно, что эти числа-«ступени» в задаче не указаны, о них мы узнаем по контексту, и они указаны в комментарии Лю Хуэя к этой задаче. Названные чиновники — вновь действующие лица задачи 6 этой же книги III, но в этот раз от них требуется выделить из уже распределенного зерна (распределенного согласно указанному ряду) соответственные части, чтобы обеспечить еще одного, опоздавшего чиновника ранга дайфу.
Подбор чисел (пять человек, пять предметов), конечно, не случаен, он оттеняет характер неравнозначного деления. С делением на пять частей количества из пяти предметов мы часто встречаемся в древнекитайских задачах различных трактатов. В задаче 7 книги III «Математики в девяти книгах» теперь уже не чиновники, а простые смертные делят между собой 5 ху зерна в отношении 3 : 3 : 3 : 2 : 2. В задаче 18 книги VI «Математики» А, Б, В, Г, Д делят 5 цяней-монет, но при новых условиях: первые двое получают столько же, сколько последние трое (задача на прогрессии). Наконец, в задаче 4 книги III искусная ткачиха за 5 дней вырабатывает 5 чи ткани, наращивая дневную норму в отношении 1, 2, 4, 8, 16. «Искусная ткачиха ткет в [каждый следующий] день в 2 раза больше [чем в предыдущий]. За 5 дней наткала 5 чи. Спрашивается, сколько она вырабатывала ткани ежедневно? Ответ: за первый день наткала 1 19/31 цуня, за следующий день наткала
По поводу двух последних фраз правила, которые мы здесь не поясняем, см. п. 7 данной части.
141
З 7/31 цуня, за третий день наткала 614/31, цуня, за четвертый день наткала 1 чи 2 28/31 цуня, за последний день наткала 2 чи 5 25/31 цуня» [50, с. 458]. В первой задаче последней книги «Математического трактата Чжан Цю-цзяня» также пятеро чиновников делят пресловутых пять оленей, правда, в отношении 6, 5, 4, 3, 2. Текст этой задачи Чжана сохранился неполностью, но легко восстанавливается. Здесь пропорциональные числа названы по-другому — рангами (ча)\ правило по существу формулируется как прежде.
Задачи 1—4 книги VI «Математики в девяти книгах» на пропорциональное деление отличаются от задач книги III тем, что в них п. не заданы, а их требуется составить по условию задачи. От этого, конечно, задача усложняется, но будущему чиновнику, очевидно, было полезно научиться устанавливать пропорциональную зависимость между количествами, с которыми ему приходилось сталкиваться при распределении налогов зерном (цзюнъ шу су — задачи 1, 3, 4 книги VI), поставок людей для общественных работ (цзюнъ фу су — задача 2 той же книги). Ради наглядности, с какой полнотой должно было все учесть, приведем цитату из текста самой сложной задачи 4 книги VI «Математики в девяти книгах»: «Налог в виде зерна пропорционально распределяется между: уездом А, где 42000 суаней, 1 ху зерна [стоит] 20 [цяней], стоимость найма на работу на 1 день 1 цянь, везут зерно в этот уезд; уездом Б, где 34272 суаня, 1 ху зерна [стоит] 18 [цяней], стоимость найма на работу на 1 день Юцяней, до места сдачи 70ли»; и т. д. [50, с. 48].
