Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
История тройного правила в ее раннем периоде может быть существенным образом дополнена китайскими материалами. Стоит только заглянуть в ту же самую «Математику в девяти книгах», в ее книги III, VI, где содержатся арифметические задачи, а также в другие трактаты «Десятикнижья», как мы обнаружим в них, по существу, те же задачи, которые названы у Н. Тартальи. На самом деле, если определять в задачах на «расчет стоимости предмета», которые содержатся в конце книги II «Математики в девяти книгах», саму стоимость у из расчета некоторого количества монет а, на которые куплено было п предметов, то следует найти либо общую стоимость Л7" предметов, либо количество предметов, купленных на А монет. В этом случае задача потребует применения трой-
148
ного правила: N= —— жА = —— . Особенно четко видно это в задачах 10—19 книги III «Математики в девяти книгах»: «1 цзинь шелка-сырца стоит 240 цяней. Спрашивается, сколько можно купить шелка-сырца на 1328 цяней?» [50, с. 461, задача 10]. Сравним ее с задачей 37 книги II: «Затратили 13 670 цяней на покупку 1 даня 2 цзюней 17 цзиней шелковых ниток. Спрашивается, сколько [стоит] дань, если дань — основная норма?» [50, с. 454]. Еще любопытнее сравнить задачу 10 с задачей 14 той же книги III: «1 пи 1 чжан некрашеного шелка стоят 625 [цяней]. Спрашивается, сколько можно купить некрашеного шелка на 500 цяней? Ответ: можно купить 1 пи некрашеного шелка» [50, с. 462].
Задача обратна первой из приведенных выше и совпадает со второй, в ней определяется опять-таки стоимость единицы для измерения ткани, хотя явно об этом не спрашивается. После всех этих задач в следующих задачах 16—19 книги III переходят явно к тройному правилу: «Человеку дают 14 цзиней шелка-сырца, получают взамен 10 цзиней шелковой ткани. Теперь человеку дают 45 цзиней 8 ланов шелка-сырца. Спрашивается, сколько получат взамен шелковой ткани?» [50, с. 462, задача 15]. Или: «Если взять работника на один год, то стоимость составляет 2500 цяней. Заплатили 1200 цяней. Спрашивается, сколько дней должен работать [работник]?» [50, с. 463, задача 19]. Приводятся также расчеты на усушку, утруску, потерю, припек и т. п., т. е., по существу, предлагается вычислить проценты. Например, в задаче 17 книги III «Математики в девяти книгах» рассчитывается потеря шелка-сырца при сушке, а в «Математическом трактате Сунь-цзы», в задачах 12—14 последней книги, вычисляется фактически 103% в качестве добавки к просу, 3% в качестве утруски проса, хранящегося в амбаре и 1% ссуды под залог шелковых ниток. «Имеется ссуда: дается человеку 57 цзиней шелковых ниток; за год нарастает 16 цзиней. Спрашивается, каков прирост на [один] цзинь?» [49, с. 34-35].
Комментатор «Десятикнижья» Ли Чунь-фэн к задачам 17—18 последней книги «Математического трактата Чжан Цю-цзяня» применил четкую терминологию: данное а он называет «имеющимся числом» (со ю шу), сх — «коэффициентом для искомого» (со, цюй люй), са — «коэффициентом для данного» (со ю люй). В это время и условия задач стали формулироваться более однотипно, например: «Имеется засоренного проса 1 ху 5 доу. Очистив его, получили 7 доу грубо очищенного пшена. Пусть имеется 2 доу засоренного проса. Спрашивается, сколько получится хорошо очищенного пшена?» [51, с. 53, задача 17].
Правило рекомендует: «Установи количество грубо очищенного пшена, ищи число, которое получится для хорошо очищенного пшена. Умножь на [количество] предположенного засоренного проса, это делимое. В качестве делителя возьми первоначальное просо. Объедини делимое и делитель в одно [число]». [Там же].
149
Далее идут слова Комментатора: «Ли Чунь-фэн дает свой комментарий. В этом способе устанавливается 7 доу грубо обработанного пшена, умножается на 9 — коэффициент для хорошо очищенного пшена; берется одна десятая часть, получается 6 3/10 доу. Именно при очистке 15 доу засоренного проса получается 6 3/10 доу хорошо очищенного пшена. Для данного правила имеется: данное число 20 доу засоренного проса, коэффициент для искомого [числа] 6 3/10 доу, коэффициент для данного [числа] 15 доу засоренного проса» [51, с. 79].
Мы специально цитируем древние тексты, чтобы показать, насколько было характерно для китайских задач употребление соотношения зерновых культур, начатое еще в «Математике в десяти книгах». Правда, эти задачи Чжана отличаются от задач на обмен: в них заданы не коэффициенты (люй), но отношения объемов. Отсюда более четкая формулировка задач: «имеется» и «пусть теперь», — стандартные начала фраз для задания двух пар величин, которые, как в таблице, четко разграничиваются: те, которые уже есть, и те, которые предполагаются.
Как могли быть получены задачи на сложное тройное правило? Например, достаточно ввести в задачах на прирост или на проценты третью изменяющуюся временную компоненту. «Человек пустил в рост 1000 цяней, за месяц наросло 30. Человек пустил 750 цяней, через 9 дней возвратил их. Спрашивается, каково наращение?» [50, с. 463]. Подобных задач в математическом «Десяти-книжье» очень много, они содержатся и в книге VI «Математики...», и у Сунь-цзы, и особенно в трактате Чжан Цю-цзяня. К ним относятся также задачи на правило товарищества, совместную работу, на смешение. Вот некоторые из них: «Нанялись нести 2 ху соли на расстояние 100 ли за 40 цяней. Нанялись нести 1 ху 7 доу 3 с малой половиной шэна соли на расстояние 80 ли. Спрашивается, за сколько цяней?» [50, с. 483, задача 7 книги VI]. Или: «Корзину весом в 1 дань 17 цзиней носят 50 раз на расстояние в 76 бу. Корзину весом в 1 дань носят на расстояние 100 бу. Спрашивается, сколько раз?» [Там же]. Решены они обычно.
