Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> История -> Березкина Э.И. -> "Математика древнего Китая" -> 59

Математика древнего Китая - Березкина Э.И.

Березкина Э.И. Математика древнего Китая — М.: Наука, 1980. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): berezkina1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 131 >> Следующая

14 «Равное число» (деншу) и есть наибольший общий делитель — китайский термин, употребленный в «Десятикнижье» впервые в правиле сокращения дробей [50, с. 440].
9 Э. И, Березкина
129
в трактате Чжана случаев несовпадения алгоритма с вычислениями. В правиле автор рекомендует применить тот же метод, которым пользовался Сунь-цзы при решении своей задачи: найти число обводов, а не количество дней до встречи.
«Количество бу внутреннего, среднего, внешнего обводов взаимно перемножь с коэффициентами ходьбы А, Б, В. Ищи равное число, сократи, для каждого получишь ходьбу в обводах» ,— вот весь текст правила [51, с. 31]. Можно восстановить схему вычислений по этому алгоритму. Составляется таблица
720 9 960 7 1200 5
и производится поочередное перемножение чисел левого столбца на соответствующие числа правого столбца, как это делается при приведении дробей к общему знаменателю, даже термин употреблен тот же, <ш/ чен» [50, с. 441]:
720 . 7 • 5 9 960 . 9 • 5 7 1200 -9-7 5
Полученные произведения сокращаются на «равное число», т. е. на общий наибольший делитель, равный здесь 3600. В левом столбце остаются числа 7, 12, 21. Искомые величины, очевидно, должны быть такими, чтобы произведение их на полученные числа равнялось наименьшему общему^кратному этих чисел. К сожалению, в правиле не^говорится, как действовать окончательно. Наверное, так же, как в задаче Сунь-цзы: следует искать наименьшее общее кратное чисел 7, 12, 21.
5. Общий наибольший делитель. Алгоритм Евклида. Основное свойство дроби
Способ нахождения общего наибольшего делителя двух чисел известен в математической литературе как алгоритм Евклида [55, с. 12, книга VII, предл. 2], содержание которого сводится к следующему. Для определения наибольшего общего делителя двух чисел а и Ъ (а ]> Ъ) надо вычитать Ъ из а последовательно столько раз, чтобы остаток r1=a—д0Ь был меньше Ь. Далее следует аналогично поступить с парой (Ь, гг). Получится остаток T2=b—q^r1 и т. д. Наконец, получатся остатки гп_2 *> гп_х, и такие, что в гп_2 остаток гп_г укладывается целое число раз:
^2 — ^-1^-1 = ° (г„ = 0).
Таким образом, будет наибольшим общим делителем данных а и Ъ.
Такой же алгоритм описан в древнекитайской «Математике в девяти книгах» в виде правила «Сокращение дробей» (книга I сочинения), предваряющего весь цикл задач на дроби: «То, что
130
можешь разделить пополам, раздели пополам; если нельзя разделить пополам, то установи количества числителя и знаменателя, из большего вычти меньшее; продолжай взаимно уменьшать до тех пор, пока не получатся равные [числа]; на это равное число и сократи» [50, с. 440].
Хотя древнекитайский алгоритм сформулирован в арифметической форме в отличие от древнегреческого, где речь идет об отрезках, в нем также применено попеременное вычитание вместо современного деления. Вероятно, это диктовалось техникой вычислений на счетной доске, когда числа представлялись счетными палочками. В зависимости от этого сформулировано конечное условие: «пока не получатся равные [числа]», т. е. гя_2==гя-1?и-1- Здесь применен термин для общего наибольшего делителя «равное число» (деншу). Этот термин встречается всюду в математических текстах древнего Китая. В «Математике в девяти книгах» определение алгоритма, по-видимому, довольно древнее. В нем сохранилось упоминание о делении чисел на четные и нечетные — свойстве, подмеченном древними народами задолго до какого-либо развития теории делимости чисел (древние египтяне должны были столкнуться с ним в алгоритме деления 2 : п). И, конечно, в древнем алгоритме попеременного вычитания не требовалась единственность разложения на множители, хотя связь с цепными дробями в дальнейшем, вероятно, была установлена. В «Математике в девяти книгах» алгоритм нахождения общего наибольшего делителя выражает основное свойство дробей и, кстати, представляет дробь явно в виде пары чисел. Это свойство дроби, когда величина дроби не изменяется от умножения или деления числителя и знаменателя на одно и то же число, было особо отмечено комментатором «Математики в девяти книгах» Лю Хуэем, а также Чжан Цю-цзянем, развившим далее учение о дробях. Лю Хуэй, поясняя заголовок правила «Сокращение дробей» (юэ фэнъ), пишет: «Тот, кто сталкивается с сокращением дробей, мерой количеств вещей, не может исследовать полностью, как- надо говорить о дроби. Дробь— это число, сложное по устройству^ трудное в употреблении. Пусть имеется 2/4. Если говорить об усложнении (фанъ), тогда можно получить 4/8, если говорить о сокращении (юэ), то^бу-дет 1/2. Хотя количества (шу) представлены разными словами, возвращаются к одинаковому значению. Делитель (фа), делимое (ши) взаимно выделяются, постоянно ^имеется разность, поэтому и дается такое правило, которому прежде всего подчиняется каждая дробь» [100, т. 1, с. 94—95].
Понимание Лю Хуэем смысла и значения этого алгоритма весьма глубокое. Вот что он пишет в комментарии к алгоритму: «Сократить на равное~число — это значит разделить [на него]. Когда^при взаимном вычитании начинают повторяться равные числа, то берут равное число и сокращают на него» [Там же].
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed