Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
«Для каждого установи ранговые количества, это ступени. Возьми обратные им ступени, сложи, это делитель. 100 цяней умножь на каждую [ступень], еще не сложенную с другими, это делимые. Объедини делимые и делитель, получишь [искомые количества] в цянях» [Там же].
Ли Янь предлагает толковать термин «будун» как «неперевер-нутое» число, так называется «неподвижное» число 3 в ряду 5 :4: 3 :2 :1, все остальные числа «дун», т. е. «подвижные». Это предполагает составление обратного ряда, т. е. 1, 2, 3, 4, 5. «Неподвижное» число составляет основу (единицу), по отношению к которой другие «ступени» изменяются так:
3/ 3/ 3/ 3/ 3/ /5> /4» /3» /2> /1-
Чиновник, которому соответствует «неподвижное» число 3, расходует 100/5 = 20 цяней, а остальные соответственно:
у. 20 = 12, I". 20 = 15, |-. 20 = 20, у-20 = 30, 1.20 = 60.
Сумма полученных чисел равна 137, а должна быть равной 100. Отсюда окончательно по правилу ложного положения получаются:
?5? . 12, ^ • 15 и т. п. искомые числа. Нам представляется, что
I о / 1 о /
вычисления шли иначе. Выложив при помощи счетных палочек на доске ряд из знаменателей заданных пропорциональных чисел
5, 4, 3, 2, 1, вычислитель перемножал их так, как это в древнекитайском языке было принято называть «бянъ чей»: 4-3-2-1 = 24, 5-3.2.1=30, 5.4-2.1=40, 5-4.3.1=60, 5.4-3.2=120, или 12, 15, 20, 30, 60, как если бы он приводил заданные дроби, составляющие здесь пропорциональный ряд 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1/1, к общему знаменателю, в качестве которого он взял произведение знаменателей.
Далее, соответственно нашей реконструкции в задаче 9 книги III заданная последовательность заменяется такой:
30-75=2250, 50-75=3750, 50-30=1500,
или после сокращения на общий наибольший делитель:
450, 750, 300.
Тогда искомые х. будут следующими:
_9 . 450__ 27 _9 • 750 _ 45 _9 • 300_18
Хх~ 1500 ~~ 10 ' Х*~ 1500 ""10 9 Жз~~"1500 ТО •
9. Пропорции. Коэффициент пропорциональности. Подобие
Очевидно, задачи на пропорциональное деление, использующие производные пропорции, не были самыми древними; ранее появились те, которые возникали в связи с натуральным обменом. Первоначальный качественный обмен со временем был заменен количественным с учетом трудоемкости, вложенной в добытый или изготовленный предмет, подлежащий обмену. В древнекитайской «Математике в девяти книгах» ее книга II «Соотношение между различными видами зерновых культур» (су ми) [50, с. 447 и след.] специально посвящена задачам на обмен. Содержание задач, которые несомненно гораздо древнее, чем эпоха составления трактата, заключается в составлении отношения объемов имеющегося количества а зерна и того зерна х, на которое меняется данное. Обмен производится в соответствии с коэффициентами са и сх, установленными для этих видов зерна. Решение, очевидно, исходит из пропорции х1а = с1са, откуда ж=2_1?*в
са
Эта формула описана в общем правиле к задачам 1—31 книги II трактата:
«Количество имеющегося [вида зерна ] умножь на норму искомого, это делимое. Норма имеющегося [вида зерна] есть делитель. Объедини делимое и делитель» [50, с. 447]. Последнюю фразу следует понимать как «раздели делимое на делитель», т. е. искомая величина отыскивается как четвертая, пропорциональная к трем заданным. Коэффициенты с. вычислитель должен брать из таблицы, которая помещена в самом начале книги II китайского трактата:
Ю Э. И. Березкина
145
«Правило соотношения между различными видами зерновых
культур
Просо — основная норма .... 50
Грубо обработанное пшено .... 30
Очищенное пшено........ 27
Хорошо очищенное пшено .... 24
Пшено для князей........ 21
Мелкая крупа.......... 13 с половиной
Крупная крупа.......... 54
Вареное грубо обработанное пшено 75
Вареное очищенное пшено .... 54
Вареное хорошо очищенное пшено 48
Вареное пшено для князей ... - 42 Бобы, горох, кунжут, пшеница —
каждое............. 45
Рис неочищенный........ 60
Приготовленные бобы...... 63
Каша .............. 90
Вареные бобы.......... 103 с половиной
Хмель.............. 175» [Там же].
Таблица свидетельствует о довольно разнообразном натуральном рынке. Задачи на покупку товара, по-видимому, более поздние: в книге II они составляют вторую часть ее (задачи 32—46). Например, текст задачи 32: «Затратили 160 цяней. на покупку 18 черепиц. Спрашивается, сколько стоит штука?» 150, с. 453 и след. ]. В задачах на обмен за общий эквивалент «стоимости» принято просо (отметим, что не рис), впрочем, в древнем мире эталоном при обмене часто служили продукты, ткани, шкуры, но не монеты или даже драгоценности. На островах Рюкю вплоть до прошлого столетия таким эквивалентом был рис. Самым дешевым продуктом на древнекитайском рынке согласно этой таблице оказалась винная закваска, хмель, а самым дорогим — «мелкая крупа», т. е. манная, изготовляемая, как показывает ключ иероглифа, из пшеницы.
Эти значения коэффициентов люй никогда не сообщаются в задачах трактатов «Десятикнижья», по-видимому, вычислитель должен был знать, где их найти. Заметим здесь, что в древнекитайском языке различались термины «коэффициент» (люй), всегда отвлеченное число, и «количество», «число» (ту), вероятно, перво* начально означавшее только именованное число.
