Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> История -> Березкина Э.И. -> "Математика древнего Китая" -> 67

Математика древнего Китая - Березкина Э.И.

Березкина Э.И. Математика древнего Китая — М.: Наука, 1980. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): berezkina1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 131 >> Следующая

Математическое содержание задач на обмен сводится к следующему. Согласно таблице всякое отношение двух «стоимостей» есть некоторый фиксированный коэффициент Т=с4/ср которому равны отношения соответствующих объемов (емкостей) зерна двух сэртов:
Любопытно, что в'таблице содержатся дробные коэффициенты, так как за эталон приняли не 100, а 50. Возможно, это и были самые первые задачи, в которых древние имели дело с пропорциональной зависимостью
146
или с обратно пропорциональной зависимостью
и • _ !
I I
Вычисление в древних задачах на обмен производилось именно по последней формуле. Искомое количество зерна определялось как х=а1^. Приведем в качестве доказательства первую задачу книги II «Математики в девяти книгах», которую использует также в своем трактате Сунь-цзы, — остальные задачи 1—31 этой группы аналогичны:
«Имеется 1 доу проса. Спрашивается, сколько получится, если хочешь получить грубо обработанное пшено? Ответ: грубо обработанного пшена станет 6 шэнов. Правило: взяв [количество] проса, ищи [количество] грубо обработанного пшена, разделив на 5/3» [50, с. 447].
?3 Напомним, что 1 доу=10 шэнам. Задача тривиальна, но все дело в том, что общее правило к этим задачам отличается принципиально от правил, которые следуют за каждой задачей в отдельности. В общем правиле искомую нашли как четвертую, пропорциональную к заданным трем, а в каждом из правил ее находят при помощи деления данной величины на коэффициент, который составлен из Чтобы выразить это, употреблялось специальное выражение: «. . лжи. . . эр и», означавшее буквально «распять — третьерить», т. е. разделить на 5 частей и взять из них три, т. е. разделить на дробь 5/3. Такое труднопереводимое выражение часто употреблялось в древнекитайской математической литературе для обозначения деления некоторого количества на п частей и передавало смысл математической операции: «взять одну и-ю», или соответственно «разделить пополам», «разделить на три части и взять 1» и т. д. Выражение не менялось в случае дробного, отсюда буквальное «распятьтретьерить».
В этих вычислениях правило деления на дробь в явном виде не сформулировано. Здесь мы наблюдаем другое явление, характерное для древней математики: непосредственную зависимость методов от средств вычислений. Существовало определенное выражение для некоторого действия, к нему и обращались при решении задач. Аналогично дело обстояло в древневавилонских текстах. В древнем Двуречье бурная строительная деятельность породила множество различных норм, например, человеко-дни для разных видов работ (копать землю, класть асфальт, перенести кирпичи и т. п.). Кроме того, проводились в хозяйстве подсчеты с использованием норм посевного зерна, урожая (в расчете на единицу площади), настрига шерсти с овец и т. д. Поскольку вычислительная техника вавилонян была связана с тем обстоятельством, что деление в ней заменялось умножением, то таблицы этих «постоянных» состояли именно из обратных постоянных, так же как в рассмотренных древнекитайских задачах предпочитали делить на обратное значение коэффициента у.
147
10*
Любопытно, что и в геометрии до того, как было выработано понятие подобия, например подобие прямоугольных треугольников, сначала рассматривался коэффициент пропорциональности для их сторон. Это хорошо видно на древневавилонских задачах [21; с. 184].
10. Тройное правило. Проценты
В дальнейшем задачи на пропорции были объединены под названием задач на тройное правило. В средневековой европейской арифметике оно называлось золотым, ибо с помощью него «совершаются все торговые расчеты всех ремесленников и купцов», как высказался Ян Видман, автор известного учебника арифметики XVI в. Свое название в истории науки правило получило в древней Индии, где оно было возведено в ранг всеразрешающего метода арифметики. «Трайрашика» (буквально «трехместное») обозначало размещение трех заданных величин в определенном порядке в строке, чтобы вычислитель по определенной схеме мог найти четвертую пропорциональную. В VII в. правило было обобщено Брахмагуптой и другими на случай 5, 7, 9 величин и называлось соответственно «пантарашика», «саптарашика» и т. д. (буквально «пятиместное», «семиместное» и др.). Вслед за индийцами эту линию продолжили математики стран ислама. У ал-Бируни мы находим специальное сочинение «Об индийских рашиках», посвященное обоснованию и дальнейшему обобщению правил индийцев. Правила были впервые обоснованы с помощью общей теории составных отношений со ссылками на Евклида и его комментаторов, хотя у Евклида не было непосредственного вычисления четвертой пропорциональной. Ал-Бируни подробно разъясняет правило на примерах, приводя схемы вычислений с расположением величин в два ряда [41]. Вплоть до средины XIX в. тройное правило находилось в центре внимания авторов учебников по арифметике. Европейские авторы пытались классифицировать задачи на тройное правило. Например, известный итальянский математик XVI в. Н. Тарталья выделяет задачи на проценты, учет, сроки, сложные проценты, правило товарищества, обмен и смешение.
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed