Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Но это еще не все:
«Каждые 6 человек имеют [одну] общую повозку. На повозку грузят 25 ху. Груженая повозка за 1 день проходит 50 ли, порожняя повозка за 1 день проходит 70 ли. Каждый [раз] на погрузку и разгрузку отводится по 1 дню» [Там же].
В этих задачах 1—4 пропорциональные числа хотя и не являются членами прогрессий, как, впрочем, еще в задачах 3 и 5 книги III, и даже порою убывают немонотонно, но все же названы «ступенями».
По-видимому, сначала в задачах, которые подвергались систематизации и обработке для педагогических целей, числами пропорционального ряда были члены прогрессии, представлявшиеся наглядно в виде ступеней. Затем этот термин утратил свое буквальное значение, стал обозначать просто числа, пропорционально которым производится деление.
Задачи на пропорциональное деление приводятся и в других трактатах «Десятикнижья» в достаточном количестве. Так, Сунь-цзы, представляя задачи книги III «Математики. . .», переписывает задачу об искусной ткачихе (задача 27 средней книги его трактата), по-видимому, она была популярной. В конце трактата (задача 30 последней книги) он дает задачу, аналогичную задаче 2 книги III «Математики в девяти книгах», о буйволе, лошади и овце, потравившими чужой посев. В задаче Сунь-цзы речь идет о возмещении зерна, которое склевали цыпленок, курица, петух
142
в том же отношении 1, 2, 4. Теме о налогах посвящена задача 1 последней книги трактата Сунь-цзы, где производится перерасчет ренты девяти семей, которым нужно из своих паев еще уплатить за перевозку. В задаче 24 средней книги следует считать денежные паи участников дележа — задача, похожая на задачу 3 книги III «Математики в девяти книгах» о таможенном сборе в 100 цяней, который распределяется между тремя лицами в соответствии с наличными деньгами'каждого из них. Все эти'аналогии и перечисления показывают неослабевающее внимание к такого рода задачам со стороны древних и примерно определяют среду, откуда такие задачи черпались, хотя, как видим, многие из них уже утратили свой практический смысл. В задачах Чжан-Цю-цзяня, например, заметное внимание уделяется числовым последовательностям, которыми представлены пропорциональные числа. Приведем лишь одну, но характерную задачу на пропорциональное деление из трактата Чжан Цю-цзяня, в которой использованы сразу два ряда: числа, кратные трем, и числа, вторые разности которых лишь постоянны.
Это задача** 17 первой книги трактата:
«Начальник выделил из казначейства золота 59 цзиней 1глан, одарил им 9 ванов, 12 гунов, 15 хоу, 18 цзы, 21 наня. Каждый ван получил золота на 5 ланов больше, чем [один] гун; каждый гун получил золота, на 4 лана больше, чем [один] хоу; каждый хоу получил золота на 3 лана больше, чем [один] цзы; каждый цзы получил золота на 2 лана больше, чем [один] нань. Спрашивается сколько золота получил каждый из ванов, гунов, хоу, цзы, на-ней? Ответ: ван — 1 цзинь 6 ланов, гун — 1 цзинь 1 лан, хоу — 13 ланов, цзы — 10 ланов, нань — 8 ланов» [51, с. 33].
Обратно пропорциональное деление также было рассмотрено в древних текстах, с ним связаны нетривиальные задачи. Еще в книге III «Математики в девяти книгах» сразу после задач на «ступени» приводятся задачи на «обратные ступени» (фапъ чуй), к которым есть указание, сформулированное кратко и неясно. Эта фраза поддается реконструкции, но неоднозначно. Таких задач здесь всего две. В первой из них, по порядку она 8-я в книге, на сцене снова чиновники пяти рангов, но теперь они не получают, а платят, и потому их расходы, как указал в комментарии Лю Хуэй, обратно пропорциональны известному ряду натуральных чисел, характеризующих их доходы (?!), именно пропорциональны ряду обратных чисел:
Х/б' 1/4> */з> А/2> VI*
Во второй из них, задаче 9, Производится «переоценка ценностей» — задача не менее любопытная:
«Имеется 3 шэна проса у А, 3 шэна грубо обработанного пшена у Б, 3 шэна вареного грубо обработанного пшена у В. Спрашивается, сколько получит каждый, если все сложить и распределить снова?» [50, с. 460].
143
По данным книги II этого сочинения, нормы-коэффициенты взятых видов зерна соответственно равны 50, 30, 75. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо провести деление обратно пропорционально этим коэффициентам или пропорционально ряду обратных величин:
VoO» V3O9 V75-
Укажем, что в задачах 5—6 книги VI «Математики в девяти книгах» также проводится обратно пропорциональное деление, в частности первая из них похожа на приведенную выше задачу 9 книги III:
«Имеется 7 доу проса. Три человека разделили его между собой и очистили: один получил грубо обработанное пшено, другой — очищенное пшено, третий — хорошо очищенное пшено. Пусть [получившиеся] количества пшена равны. Спрашивается, сколько каждый взял проса и сколько получил пшена после очистки?» [50, с. 482].
Указание на ход решения в общем правиле выражено [одной фразой:
«Установи по порядку ступени и взаимно перемножь перевернутые ступени» [50, с. 460] (ср. [100, т. I, с. 136]).
Не совсем ясно, как следует проводить вычисления. Одна гипотеза предложена Ли Янем. Приведем правило к задаче 8 книги III «Математики в девяти книгах» о расходах пяти чиновников в, 100 цяней, на примере которого построена расшифровка общего правила:
