Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> История -> Березкина Э.И. -> "Математика древнего Китая" -> 58

Математика древнего Китая - Березкина Э.И.

Березкина Э.И. Математика древнего Китая — М.: Наука, 1980. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): berezkina1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 131 >> Следующая

Здесь хорошо виден смысл приведения дробей к общему знаменателю, чтобы разные дроби можно было сравнивать, оценивать, оперировать с ними, надо выразить их в одинаковых долях и все свести к операциям с целыми числами. В конечном счете так поступали древние любой цивилизации, да и мы тоже, но при этом шли разными путями. В древнекитайском алгоритме главным образом фиксируется внимание на толковании дроби как некоторой доли основной единицы или нескольких таких долей, иными словами, дроби как именованного числа.
Нам остается только показать, что в дальнейшем проблема наименьшего общего кратного была выделена в самостоятельную и предлагалась в задачах вне всякой связи с дробями. Через несколько столетий в «Математическом трактате Сунь-цзы» и еще в более общей форме в трактате Чжан Цю-цзяня она нашла отражение в специальных задачах13. Вот условие задачи Сунь-цзы:
«Имеется три сестры: старшая сестра возвращается домой один раз в пять дней, средняя сестра возвращается домой один раз в четыре дня, младшая сестра возвращается домой один раз в три дня. Спрашивается, через сколько дней [эти] три женщины встретятся все вместе? Ответ: [через] 60 дней» [49, с. 39].
Правило к задаче весьма корректно:
В Монголии такие задачи также получили распространение, например задача о посещении учителя четырьмя его учениками соответственно ежедневно, через сутки, двое и 5 дней и о встрече их всех.
127
«Установи 5 дней для старшей сестры, 4 дня для средней сестры, 3 дня для младшей сестры справа. В каждом ряду слева расположи единичную счетную палочку».
Схема будет следующей:
1 5 1 4 1 3
Далее в правиле говорится:
«Взаимно поочередно перемножь это. Число раз, которое будет получено для каждой, [следующее]: старшая сестра через 12 раз, средняя сестра через 15 раз, младшая сестра через 20 раз», т. е. находится наименьшее общее кратное для каждой пары чисел:
12 5 15 4 20 3
И, наконец, в последней фразе объявляется о получении наименьшего общего кратного трех заданных чисел, равного 60, из каждой строчки таблицы.
«Умножь эти числа на [количество] дней, через которое каждая возвращается домой, и получишь [искомое]».
Хотя решение этой задачи гораздо проще, чем решение задач 1—11 книги IV «Математики в девяти книгах» (здесь наименьшее общее кратное есть просто произведение простых чисел), но сама проблема обсуждается отдельно и весьма образно. Эта задача соответствует вкусам автора трактата, интересовавшегося теоретико-числовыми задачами.
В задачах 10—11 первой книги трактата Чжан Цю-цзяня оперируют не только с наименьшим общим кратным, но и с общим наибольшим делителем. Рассмотрим их подробно, так как в историко-математической литературе о них упоминают редко и очень кратко [110, с. 81]. В обеих задачах снова имеют дело с тройкой чисел 3, 4, 5, хотя они явно и не заданы.
«Имеется насыпная гора с оградой 325 ли. Три человека Ау Б, В одновременно ходят вдоль ограды. А за день проходит 150 ли, Б за день проходит 120 ли, В за день проходит 90 ли. Спрашивается, сколько дней и сколько обводов [они] пройдут, пока встретятся» [51, с. 30]. Решение очевидно: если А сделал до встречи пг кругов, Б — щ, В — п3 и для этого потребовалось х дней, то имеет место
_ 325 . лг2_325 . ге2__325 . щ
Х— 150 120 ~~~ 90 •
После сокращения, в том числе на наибольший общий делитель, равный 30, становятся ясными наименьшие целые значения л1=5, 7г2—4, 723—3.
В правиле описано, как при помощи деления получить число дней, нужных для встречи трех пешеходов.
128
«Установи числа ли, нормы ходьбы для А, Б, В. Найди равное число, это делитель. В качестве делимого возьми число ли ограды. Делимое составь с делителем и получишь единое [число]» 14 [Там же].
На этом правило заканчивается. В вычислениях же еще показано, как найти искомые количества оборотов, совершенных Л, Б, Б до встречи. Для этого надо разделить нормы ходьбы на их наибольший общий делитель.
Следующая задача несколько сложнее:
«Обвод военного лагеря внутри 720 бу, обвод военного лагеря в середине 960 бу, обвод военного лагеря вовне 1200 бу. Три человека А, Б, В шли ночью. А шел по внутреннему обводу лагеря, Б шел по среднему обводу лагеря, В шел по внешнему обводу лагеря, встретились у южных ворот. Нормы ходьбы для А 9, для Б 7, для В 5. Спрашивается, по скольку обводов пройдет каждый, пока все они не окажутся у южных ворот [одновременно]» [51, с. 31, задача 11].
Согласно условию
720 . П1__960 . лг2_1200 . п3
9 ~~ 7 — 5
или, после сокращения на наибольший общий делитель, равный 240:
Ъщ__4тг2 _ 5тг3
Здесь не получаются наименьшие целые значения для искомых величин, поэтому последующие члены отношений предлагается увеличить в 4 раза. В вычислениях так и сказано: «Ищи целые числа» [там же], а также указана схема
3 9
4 7
5 5
Правый столбец, который требуется увеличить «дважды в два» раза:
3 36
4 28
5 20
Разделив на соответствующие числа, стоящие слева, получают искомые числа
^=12, тг2=7, тг3=4.
Однако китайское правило отлично как от описанных в тексте, так и от приведенных здесь вычислений. Это один из немногих
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed