Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> История -> Березкина Э.И. -> "Математика древнего Китая" -> 62

Математика древнего Китая - Березкина Э.И.

Березкина Э.И. Математика древнего Китая — М.: Наука, 1980. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): berezkina1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 131 >> Следующая

7. Дробь как пара чисел
Так или иначе, операция деления постепенно формализовалась и стала рассматриваться сама по себе как общая и единственная для всех типов задач. К этому ведет вообще накопление опыта в решении задач, когда люди в разных конкретных задачах устанавливают общий математический смысл. Так было и с задачами, в которых производилось деление.
Очень может быть, что в формировании четвертого арифметического действия, а значит, и понятия дроби, немалую роль сыграла китайская счетная доска. Правда, такая формализация носила локальный характер, она имела место только на доске и только во время вычислений.
Действительно, в китайском алгоритме деления предполагается получение частного в любом случае. Если делимое оказывается кратным делителю, то частное будет целым числом, которое и остается единственным в верхней строке, тогда как остальные, заданные, числа убираются с доски в процессе счета. Если же делимое некратно, то на доске под частным во второй строке будет располагаться остаток (вместо делимого), а еще ниже, в третьей строке, — делитель:
частное остаток делитель
Весьма вероятно, что это обстоятельство способствовало ускорению возникновения той формы представления остатка, которая часто встречается в задачах математических трактатов и о которой подробно написано в п. 6: просто «сняли» результат со счетной доски, назвав целую часть частного и отдельно остаток от делимого. Здесь существенным оказалось то, что неделимые счетные палочки на доске заставляли вычислителя оперировать лишь во множестве целых чисел.
Об операциях с дробями на счетной доске С. А. Яновская пишет следующее:
136
«Особую роль играло введение в обиход таких операций, которые сами по себе вообще не могли быть выполнены на абаке, а также соответствующих новых математических объектов, как это было, например, в случае, когда требовалось один хлеб разделить на столько-то частей: счетные палочки трудно делить на одинаковые части и еще труднее их склеивать. Но оперирование с дробями люди давно научились заменять оперированием с целыми числами, и исторически весьма по-разному: египтяне не так, как вавилоняне, вавилоняне не так, как китайцы или другие народы. Древность этого открытия не делает его, однако, менее великим, требующим преодоления менее значительных трудностей. Не случайно во всех дошедших до нас первых математических памятниках древних египтян, вавилонян, китайцев столь много внимания уделяется именно оперированию с дробями. Не случайно они наталкивались при этом на трудные задачи теории чисел» [49, с. 5].
Дробь на доске представлялась двумя целыми числами. Числители дробей, с которыми оперировали, размещались в одной строке, знаменатели — в другой (как следует из текстов, либо вверху и вни&у, либо слева и справа соответственно). Для примера рассмотрим правило сложения дробей, формулу которого мы приводили в начале очерка. Прежде чем его процитировать, для наглядности выпишем хоть одну задачу, предшествующую этому правилу, помещенному в книге I «Математики в девяти книгах». Задача 7 книги I, она же выбрана Сунь-цзы для иллюстрации определения суммы дробей:
«Имеется 1/3 и 2/5. Спрашивается, сколько получится, если их сложить?» Ответ: 11/15» [50, с. 440].
Правило озаглавлено: «Сложение дробей» (хэ фэнъ), хэ — буквально «объединять», «складывать вместе» (современный термин цзя фа):
«Числители поочередно умножь на знаменатели, сложи — это делимое. Перемножь знаменатели — это делитель. Объедини делимое и делитель. Если делитель больше делимого, то обозначь делитель. Если их знаменатели одинаковы, то прямо складывай» [50, с. 441].
Здесь употреблен ряд специальных терминов. Для приведения дробей к общему знаменателю (но не наименьшему) пользуются термином «поочередно умножь» (ху чэн), который обозначает нахождение всех чисел вида а.Ь±. . .Ь,_А-+1 . . \ в отличие, например, от термина сян чэн, буквально «взаимно перемножь», когда отыскивается произведение знаменателей. Сумма этих чисел
п
2 • • • &»-А+1 • • • К) называется «делимое» (ши), а произведение 1
п
«делитель» (фа).
1
Таким образом, ясно, что дробь на доске представлялась парой целых чисел,, и поэтому правило напоминает сложение дробей,
137
определенных в современной арифметике парой чисел. Следующая фраза в таком случае становится совершенно необходимой: «Объедини делимое и делитель» (ши жуфа эр и), ж вслед за ней: «Если делитель больше делимого, то обозначь делитель» (бу манъ фа чжи и фа мин чжи) [100, т. I, с. 70] (см. также [50, с. 517, примеч. 10]).
Все это означает, что после получения двух чисел, делимого а и делителя &, надо «составить» (жу) из них одно число. В процессе «объединения» по мере возможности производится сокращение
а, Ь. Если а^>Ь, то выделяется целая часть -|~=^4у, так чтоа=:
= Ab-\-a. Но даже при а<^Ъ специально говорится: «Обозначь делитель», т. е. напоминается, что и в том случае, когда никаких дополнительных действий проводить не нужно, ответ следует прочитать в виде числа, у которого числителем является а, а знаменателем Ъ. Вторая фраза, кстати, часто опускается в текстах правил. По-видимому, «объедини делимое и делитель», превратившись в специальный математический термин, в достаточной степени полно обо всем говорила, а последняя фраза только уточняла частный момент.
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed