Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Предисловие'трактата Чжан Цю-цзяня посвящено специально учению о дробях, и сам трактат начинается с задач на умножение
131
9*
и деление дробей. Он кратко излагает алгоритм попеременного вычитания для определения наибольшего общего делителя числителя и знаменателя (уже без разделения на четные и нечетные), а также упоминает в связи с этим о свойстве дроби быть не только сокращенной, но и увеличенной (тот же термин фанъ).
В «Математике в девяти книгах» общий наибольший делитель употреблялся лишь для сокращения дробей. Кроме задач 5 и 6, где специально производится сокращение 12/18 и 49/91 (эти же примеры приводит и Сунь-цзы (в задачах 1, 2 средней книги)). В «Математике в девяти книгах» отыскивается общий наибольший делитель еще в задачах 8, 15, 19 книги I, где получаются 339/189, 18/108, 63/99, а также в задачах на «уравнение дробей» {лип фэнъ). В последних находится среднее арифметическое трех заданных дробей (например, */2, 2/3, 3/5 или 1/2, 3/4, 5/7) и производится их сравнение (по абсолютной величине) с этим «уравненным» значением «На сколько больше, на сколько меньше каждая из них?» [50, с. 442].
6. Деление дробей. Задачи на распределение
После некоторого отступления, связанного с исследованием теоретико-числовых понятий, рассмотрим другие «типы» деления, которые также послужили источником формирования понятия дроби.
Указанный в заголовке класс задач является обобщением предыдущего случая деления 1 : п, предполагая делимое А =^= I. Древние, однако, воспринимали эти^задачи как вполне самостоятельные и трактовали их отличным от первых образом. Если деление единицы на некоторое число частей представлялось главным образом в метрологическом плане, как раздробление единицы измерения на более мелкие доли, то деление А : п в общем случае, когда А некратно п, давало повод осмыслить дробь в качестве результата деления целых чисел. Правда, и в этом случае должно подразумеваться измерение А в однородных единицах. Действительно, в китайских задачах обычно берутся монеты, цяни, конечно, одного достоинства, которые распределяются между людьми, а в задачах Сунь-цзы делимое вообще отвлеченное число, возможно мыслимое, в виде подлежащих дележу монет. Например, «6561, 9 человек делят это между собой. Спрашивается, сколько получит [каждый] человек? Ответ: 729» [49, с. 25]. Здесь нет ни именованного делимого, ни именованного ответа, колорит задачи на распределение сохраняет лишь делитель. Эта задача из числовой таблицы произведений: 9.9.81 = 6561, 9-8.72=5184 и т. д. (см. п. 10 ч. II). Она сопровождает каждое такое умножение, указывая на обратное действие: 6561/9 = 729 и т. д. Выше мы уже отметили, что здесь Сунь-цзы явно указал на взаимно обратную связь умножения и деления. В отличие от авторов «Математики в девяти книгах» у него лишь деление представлено в традиционной форме. Умножение абстрактно:
132
«Сколько получится, если перемножить 9, 9, 81? Ответ: 6561» [Там же].
В трактате Чжан- Цю-цзяня оперируют с абстрактными числами, во всех первых шести задачах на умножение и деление дробей.
На практике древним часто приходилось распределять некоторое количество А (имущество, добычу, расходы и т. п.) как между равнозначными, так и неравнозначными объектами. Интерпретация этой четвертой арифметической операции в виде задач на распределение показывает нам, что эта операция возникла независимо от прямой, т. е. от умножения. Связь между ними была, по-видимому, осмыслена позже: в китайской математической литературе впервые у Сунь-цзы. Не удивительно поэтому, что задачи на умножение и деление дробей, помещенные в книге I ««Математики в девяти книгах», о которых ранее уже упоминали, непохожи друг на друга по форме и расположены не «по порядку».
Деление дробных чисел, изложенное в задачах 17 и 18, производится в книге I в традиционной форме «распределения» и еще до задач на умножение дробей, которые представлены в геометрическом виде, как отыскание площади прямоугольного поля по заданным сторонам.
Действительно, книга I «Измерение полей» посвящена определению площадей земельных участков различной формы, стороны которых могут быть выражены как целыми, так и дробными числами (иррациональные числа древними китайцами не рассматривались). Но для определения площади хотя бы простейшего, прямоугольного, поля в общем случае надо уметь умножать смешанные дроби. Вероятно, составители «Математики в девяти книгах» при систематизации древних текстов решили поместить перед задачами на измерение полей правила действий с дробями: сокращение их, сложение, вычитание и несколько других задач на вычитание (сравнение и уравнивание дробей). Заметим, что все эти действия производятся над отвлеченными дробями. Далее естественно было перейти, как мы представляем и привыкли, к умножению дробей, сначала правильных, затем смешанных. Это действие представлено древними авторами в виде определения площади прямоугольного поля, а не с отвлеченными дробями. Поэтому задачи 19—21, помещенные под заголовком «Умножение дробей» чэн фэпь (но не «измерение полей»; очевидно, размеры сторон, равных дробной части бу, т. е. шага, для реального поля неестественны), являются подготовкой к «Общему измерению полей» (да гуанъ тянъ), когда стороны поля выражаются смешанными дробями (задачи 22—24). Далее идут задачи на вычисление площадей треугольников, трапеций, круга и его частей, являющиеся основной темой книги I. Поместить деление дробей после умножения, когда уже начали-излагать основной материал, значило прежде всего нарушить цельность текста книги I. Да и с точки зрения древних, в этом
