Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Задачи 17—19 «Математики в девяти книгах», специально посвященные прогрессиям, различны, решения их кажутся нам искусственными, но для древнего вычислителя они были единственно возможными, сведенными к пропорциональному делению. Наиболее яркой задачей в этом отношении является задача 17 книги VI «Математики в девяти книгах»:
«Имеется золотая трость длиной в 5 чи. Отрубили основание в 1 чи весом в 4 цзиня. Отрубили верхушку в 1 чи весом в 2 цзиня. Спрашивается, каков вес каждого чи?» [50, с. 486].
Подразумевается, что в задаче задана убывающая прогрессия
а2ч аЗ-> а4> аЬ1
или
а, а—с1, а—2(1, а—Зс1, а—4<2,
152
хотя в условии об этом явно не сказано. Решение тривиально: так как
а = 4,
а —4й = 2,
то й=1/2, или непосредственно
7_Д1 — аъ_4 — 2_ 1
а— ——"Т"—у
Однако согласно древнекитайскому правилу следовало поступать иначе. Изложим это правило в нашей символике, оно носит достаточно общий характер.
1. Следует найти «коэффициент разности»: к==а1--ап=(п--\)д,.
2. Надо составить «ступени»: пх—(п—1)аъ вообще п{= = (п—1)а1—(1—1)к=(п—1)а.,ще1=2, ..., п, а к — «коэффициент разности».
3. Далее надо вычислить искомые: а~— • п.. Действительно,
_ о>1 [(п — 1) и~ (п — 1)аг *
В основу решения положена идея пропорциональной зависимости: а11а1=п11п1] специально «конструируются» «ступени» п.. В задаче еще не пользуются понятием разности прогрессии а оперируют лишь с общей разностью, или «коэффициентом разности» к. Чтобы найти нужно составить «модель» из /г,., используя свойство прогрессии: а^а — (I — В данном
случае к приходится на четыре члена: аг, а2, а3, а4, поэтому все члены прогрессии увеличиваются в четыре раза. Учетверяют ах, увеличенный вес а2 составляют из разности между увеличенным весом 4ах и общей разностью к и т. д. для остальных Эти увеличенные веса и есть ступени п..
Что касается следующей задачи 18 книги VI «Математики в девяти книгах», то она интересна своим условием: 5 цяней делится между пятью людьми в соответствии с убывающей прогрессией: а-\-Ы, а+Зй, а+2й, а-\-(1, на которую накладывается условие:
«Первые 2 получают столько же, сколько последние 3» [50, с. 487], т. е. 2а+9й=3а+6й, или а=3й. Так как по условию 5а+15й=5, то легко видеть, что (1=1/6. Китайское правило как будто бы предписывает фактически решить эту систему уравнений: «установить цяни в пирамидообразные строки-ступени», т. е. предположим й=1 и установим ряд 5, 4, 3,2,1. Быть может (в дальнейшем это нам понадобится для ссылки), это надо было сделать с помощью счетных палочек на доске:
11111 1111 1 1 1 . 1 1 1
153
Далее шло указание: «Сложи первые стродй для двух человек, получится 9. Сложи последние строки для трех человек, получится 6. Шесть меньше 9 на 3». Действительно, по схеме это сосчитать просто, и пока решение не отличается от нашей реконструкции. Оно интерпретируется преобразованием первого условия. Но далее вычислителю надлежало поступить совсем иначе: «3 прибавь ко всем». Под этим подразумевалось получение из первоначального ряда следующего:
8, 7, 6, 5, 4,
согласно которому и производится деление заданного числа монет. Именно об этом повествует конец правила. В наших обозначе
5
ниях ?=2(3 ~Ь 0 й = 30с?, и каждый член прогрессии х{ = 5 ^^^^ • 1=1
Аналогично решались вавилонские задачи о разделе серебра (59 шекелей) между братьями, например, в отношении 7:4:3:2:1 и другие задачи клинописных текстов [21, с. 92—93].
Как видим, при решении задач на прогрессии упорно обращались к «делению по ступеням», хотя и китайцы и вавилоняне умели решать системы уравнений с двумя неизвестными. Мы видим, что в таких задачах понятие й еще «не работало». Однако оно постепенно выкристаллизовывается. Понятие разности арифметической прогрессии определяется непосредственно и описывается содержательно — «то, на сколько понижается каждая ступень от соседней» (чуй сяп цюй) — как в китайской задаче 19 книги VI «Математики в девяти книгах», так и несколько менее четко в вавилонской задаче, исследованной О. Нейгебауером, в которой 10 братьев делят серебро [56, с. 195].
«Имеется бамбук из девяти колен. Объем трех нижних колен 4 шэна, четырех верхних колен 3 шэна. Спрашивается, каковы [объемы] двух средних колен, если объем каждого [колена] отличается от соседних на равную [величину]?» [50, с. 487].
Реконструкция китайского решения следующая. Обозначим члены прогрессии через а{—а + (I — 1) й (&=1, 2, . . ., 9), д, — разность прогрессии. Задача сводится к системе
4а+6й=3, За+21й=4.
Откуда а=39/66, й=7/66. Хотя подобные системы свободно решаются в книгах VII—VIII, в правиле предложен иной способ решения, который в основном сводится к следующей цепочке действий.
1. Находится разность между «верхним» и «нижним» коэффи-
4 3 7 циентами: у—~? = ~\2 •
Она является делимым для разности прогрессии.
2. Делитель составляется так:
* 2 2 — 2 *
154
3. Разность прогрессии будет равной
12 • 2 — 66 ~~ '
т. е. «на столько отличается каждая ступень от соседней».
4. Один из членов прогрессии находится так:
