Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Первое толкование фразы дал Лю Хуэй в комментариях к ней. Видимо, пятьсот лет спустя после составления «Математики в девяти книгах», в которой почти все правила заканчиваются декларацией «объединения» (если только искомая величина находится в результате деления найденных двух количеств), требовались пояснения к этому специальному термину, связанному со счетом на доске. Но у Лю появляется новая терминология.
«Чтобы найти результат, надо [взять] „ци" за числитель, а „тун" за знаменатель. Составить со знаменателем одно [число], остаток сократить на „равное число", так получить искомое. По так называемому способу „тун" делитель есть знаменатель, остаток от делимого есть числитель, все сдвигается в этот ряд» [50, т. I, с. 95-96].
Лю Хуэй делимое (ши) определенного указанного выше вида называет ци, делитель (фа) — тун, т. е. общий (имеется в виду знаменатель).
Таким образом, хотя действия с дробями всегда и во всякое время сводились к действиям с целыми числами, на счетной доске у китайцев дробь рассматривалась как пара чисел. Конечно, это не была аксиоматическая пара современной алгебры, так как два ряда чисел из числителей и знаменателей всегда имели свое толкование. Сами правила-алгоритмы подразумевали их различное значение. Тем не менее во время счета для вычислителя эти два ряда чисел были равнозначными, они ничем не отличались друг от друга, разве лишь нумерациеи*строк, в которых они находились, или ориентацией последних. Вычислитель видел на доске два ряда чисел, с которыми ему надлежало манипулировать определенным образом согласно предписанному правилу. Иногда можно встретить в терминологии правил намеки на подразумеваемое прямое равноправие чисел, соответствующих числителям и
Знаменателям. Например, сокращая дробь 12/18, Сунь-цзы пишет:
«Установи 18 долей в нижней [строке], 12 долей в верхней [строке] . . .» [49, с. 28, задача 1 средней книги трактата].
Эту задачу он заимствовал из «Математики в девяти книгах», где сформулирован алгоритм попеременного вычитания для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел, так называемый алгоритм Евклида. У Сунь-цзы и числитель и знаменатель получили одно и то же определение «доли» (фэнъ).
Знаменательно, что фраза «Объедини делимое и делитель» у Сунь-цзы почти не употребляется. Термин «объедини» заменен словом «дели» (чу), и лишь в немногих случаях говорится об «объединении» [49, с. 33—35, правила к задачам 27 средней книги; к задачам 2, 6, 8, 11 последней книги трактата]. У Сунь-цзы дробь выступает как пара равнозначных чисел, над которыми на доске производятся действия, и получается она в результате обыкновенного деления, а не какого-то особого «объединения» в одно число делимого и делителя. Благодаря постоянной вычислительной практике, понятие дроби постепенно формализовалось. На доске дробь представлялась парой чисел, над которой производились действия так, как если бы никто их и не объединял в новые математические объекты — дроби. Лишь самым последним шагом было объединение полученных членов пары в одно число.
Отметим значение, которое приобрело числовое множество в результате освоения операции деления хотя бы при локальной формализации, в результате представления дроби «инструментально» парой целых чисел. Уже одно то обстоятельство, что на доске у вычислителя в результате деления могло получиться и целое число и дробное, придавало этим двум родам чисел одинаковое «происхождение» и тем самым устанавливало их равноправие. Множество рациональных чисел теперь не представлялось древним в качестве собрания натуральных чисел, дополненного дробями. Все множество поглощало как те, так и другие, при этом целые числа представлялись как часть всего числового множества, — это всего лишь частный случай деления нацело. Кроме того, подчеркивалась (конечно, интуитивно) алгебраическая природа числа: его происхождение в результате разрешимости операции деления в множестве целых чисел.
Глава вторая
пропорции и прогрессии
8. Пропорциональное деление
Задачи на распределение между неравнозначными объектами, более общие, чем рассмотренные выше в п. 6, в большой степени интересовали древних в связи с вопросами дележа наследства, доходов, расходов. В общем виде задачи такого рода сводятся к де-
139
лению некоторого количества А на части х. в соответствии с числами так что
к
Хотя из решения этих задач операция деления ни коим образом не исключается, поскольку
_ А - и,
все же она здесь заслонена общей идеей решения, основанной на оперировании с пропорциональным рядом:
»1 П2 П3 ' ' ' Пк в
Тем не менее мы опишем этот класс задач вслед за задачами на деление и тем самым уподобимся в некоторой степени древнему ученому, который по традиции классифицировал задачи обычно не столько по методам, сколько по их темам. Примером могут служить заголовки книг в «Математике в девяти книгах»: «Измерение полей» (книга I), «Оценка работ» (книга V, имеются в виду расчеты при строительстве сооружений), «Пропорциональное деление» (книга VI), «Деление по ступеням» (книга III) и т. п. Две последние из названных содержат задачи, интересующие нас здесь непосредственно.
