Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
133
не было необходимости, поскольку деление трактовалось вне связи с умножением.
Чтобы показать деление дробей, авторам пришлось прибегать к явно нереальным, абсурдным величинам. В задаче 17 мы встречаемся с обобщением деления целого на дробь:
«Имеется 7 человек, делится [между ними] 8 1/3 цяня. Спрашивается, сколько получит [каждый] человек? Ответ: человек получит 1 4/21 цяня» [50, с. 443]. Обобщая деление на дробь на случай деления дроби на дробь, в следующей задаче 18 приходится пользоваться дробной частью человека (!?):
«Имеется 3 1/3 человека, делится [между ними] 6 1/3 и 3/4 цяня. Спрашивается, сколько получит [каждый] человек? Ответ: человек получит 2 1/8 цяня» [Там же].
Все понимали, очевидно, что эти задачи имели лишь видимо практическое значение. На самом же деле они давно стали но существу отвлеченными. В китайской математике мы не раз сталкиваемся с таким обстоятельством, когда в старую конкретную форму вкладывалось новое, абстрактное содержание. Мы уже встречались с ним на примере десятичных дробей. Приведем алгоритм деления дробей:
«Правило: количество людей возьми в качестве делителя, количество цяней — в качестве делимого. Объедини делимое и делитель. Если имеются дроби, то приведи их к общему знаменателю. Если еще имеются дроби, то таким же образом приведи их к общему знаменателю» [50, с. 443].
Смысл этого правила заключается в сведении деления дробных количеств к делению целых. Для этого дроби приводятся к общему знаменателю. Делается это дважды, поскольку в задачах делимые заданы суммой дробей с разными знаменателями. Такой процесс деления хорошо вяжется с толкованием дроби как именованного числа — еще один пример использования понятия в указанном виде.
Проблема деления дробей, как видим, была достаточно сложной и встречала существенные затруднения. Достаточно напомнить, что тем же вариантом цитированного правила пользовались греки, арабы, византийцы, математики средневековой Европы: Леонардо Пизанский (XIII в.) и Хр. Рудольф (XVI в.). Современным же алгоритмом деления дробей, сводящимся к умножению на перевернутую дробь, стали пользоваться сравнительно недавно. Он изложен у М. Штифеля (XVI в.), но употреблялся и ранее в сочинениях китайских (V в. н. э.) и индийских (VII в. н. э.) авторов. Что касается китайских источников, то здесь можно проследить, как постепенно к нему пришли.
В тех самых задачах 1-—11 книги IV, которые были подробно рассмотрены выше в п. 4, фактически осуществляли деление на дробь в виде умножения на перевернутую дробь, хотя прямого указания на такое правило в тексте нет.
Далее, к делению на дробь, по существу, прибегают при решении задач типа 34—37 книги II и 11—13 книги III, где речь
134
идет о покупке шелка-сырца или тканей [50, с. 453 и след., с. 461]. Казалось бы, в таких задачах, исходя из пропорции 1 единица товара стоит а цяней, N единиц — А монет, решение сводится либо к умножению А=аИ (задачи 11—13), либо к делению И^А/а и а=Л/ЛГ (задачи 34—37). Но дело в том, что обычно N=771/71 той основной единицы (люй), стоимость которой определяется в задаче, и в последнем случае фактически следует уметь делить на дробь. Внимание вычислителя специально обращается на «Расчет стоимости предмета».
«Правило: норма купленного есть делитель, количество затраченных цяней есть делимое, объедини делимое и делитель, получишь [искомое]» [50, с. 453]. «Затратили 5785 цяней на покупку 1 ху 6 доу 7 шэнов с большой половиной лака. Спрашивается, сколько стоит 1 доу, если доу —- основная норма?» [50, с. 454].
Действительно, вспомнив соотношения 1 ху=10 доу=100 шэнов, получаем, что N=503/30 и а=5785А/У.
Таким образом, деление целого на дробь было рассмотрено так или иначе в китайской арифметике, деление же дроби на целое, вероятно, не вызывало дополнительного объяснения. Но тогда можно было бы прийти и к современному правилу деления
Современным правилом пользуется уже Чжан Цю-цзянь (V в.). В самом начале трактата он производит умножение и деление дробей. Правда, отдельного правила в общем виде не формулирует (единственный случай в книге). Однако каждая задача снабжена детальным описанием последовательности вычислений. Задачи расположены в порядке усложнения: сначала дробное число умножается и делится на целое, затем на дробное, и, наконец, сложное дробное число — на дробное (дробная часть «сложного» числа составлена из нескольких дробей). Числа, на которых Чжан учит операциям с дробями, отнюдь не такие простые, как в «Математике в девяти книгах». Примеры из «Математики»:
а ад а 9 с _ с/д _ с _ ад
Ь ' д~~ Ъ ~~~ Ъ ~~~ Ъс #
4 3 "Г Т =
_12_ Т_ 9 7 35 ' 9 * И И
5 ' 9
4_ 9 *
Примеры Чжан Цю-цзяня:
9- 211= 1941, 21 у • 37|-=804-|
16_ 21 '
135
Деление в трактате Чжана представлено так:
2561:12 = 21 -11,
"684:27 4 = 84^,
(б5874+|):581=112||.
Заметим, что Сунь-цзы в своей книге рассматривает только сокращение, сложение и вычитание дробей, а также определение среднего арифметического для трех дробных чисел, заимствуя для этого непосредственно задачи из «Математики в девяти книгах».
