Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
¦1 = 1І З 3 і
Решение Здесь
Когда
я = 0, 1, 2,..
легко интерпретируется геометрически (рис. 8).
., а + 8й.
1. Находится среднее арифме-и а±1 а2, а3,
і
І |
і
д. !
і
>
тическое а7, а8,
а4, т. е. ВВ и АР\ составляется rгJvJ6¦7ts их разность ВС=ВВ — АР. Рис 8
2. Вычисляется АС между ах и а4 (4 — 1) промежутка, между
а7 и а9 (3 — 1) промежутка; всего же между аг и а9 (9 — 1) промежуток. Следовательно,
ЛС = (9-1,-1^-^=4.
3. Составляется отношение 5C/ЛC=tga=d.
4. Для определения величины членов прогрессии указывается, что а8=ВВ.
Реконструкция О. Нейгебауера также сопровождается геометрической интерпретацией.
Надо полагать, что подобные задачи составляли необходимую часть математической эрудиции того времени. Чжан Цю-цзянь в своем трактате счел возможным также предложить аналогическую задачу (задача 18 первой книги): «Имеется 10 рангов людей, [начиная с] ранга А 10 человек. Ведомство выделяет золото согласно рангам в той последовательности, в которой спускается разность [между ними]. Первыми вошли 3 человека старших [рангов], получили 4 цзиня золота, вышли. Последними вошли 4 человека низших [рангов], получили 3 цзиня золота, вышли. Три человека средних [рангов] не пришли, но должны были получить согласно рангам. Спрашивается, сколько золота получил каждый, а также сколько золота должны были получить вместе те три человека, которые не пришли?» [51, с. 34].
Однако Чжан Цю-цзянь не ограничивается только такими задачами и переходит от методов, основанных на пропорциональности, к прямым методам, использующим непосредственно свой-
155
ства прогрессии. Задачи на прогрессии размещены в разных частях его трактата, но все они едины по методу решения. В них применено явно правило суммирования п членов арифметической прогрессии
с _ а1 + ап „ —-2- '
где ах — первый, ап — последний ее члены. Этой формулой пользуются как для определения Бп, так и й — разности прогрессии или числа п ее членов, при этом также привлекают выражение ап=ах-\- (п — 1) й и свойство величины 8п1п.
Правило суммирования дано к задаче 23 первой книги трактата Чжана. В ней находится сумма 30 членов прогрессии по заданному первому и последнему членам ее. В задаче действует знакомый нам образ ткачихи, но для закона убывания автор объявил ее подростком, так что ее норма выработки ежедневно падает [51, с. 36]. По такому же правилу суммируется 100 членов натурального ряда, начатого с 1, в задаче 36 последней книги трактата Чжана, но в варианте, который мы бы записали
так: 2 п.
По закону натурального ряда растет ссуда на пеню: «Человек записал на себя некоторое количество шелка в долг, усилили чек, по которому [он] будет по прошествии срока платить проценты: 1 чи шелка за первый день, 2 чи за второй день, так что каждый следующий день процент повышается на 1 чи шелка. Пусть прошло после срока 100 дней. Спрашивается, сколько шелка [пришлось бы выплатить в качестве] процентов? Ответ: 126 пи 1 чжан.
Способ: сложи проценты за 100 дней и 1 день, умножь на 100 дней, возьми половину, и получишь [искомое] число» [51, с. 59].
Разность прогрессии определяется в задаче 22 первой книги трактата Чжана, которая предшествует задаче о ткачихе-подростке. Здесь задана возрастающая прогрессия и потому речь ведется об искусной ткачихе, которая начала с той же нормы, но наращивала выработку ежедневно в течение месяца, т. е. 30 дней.
«Имеется искусная ткачиха, ежедневная выработка которой резко увеличивается. Сначала за день [она] соткала 5 чи. Пусть за месяц наткала 9 пи 3 чжана. Спрашивается, каково ежедневное увеличение. Ответ: 5 15/29 цуня» [51, с. 35].
Здесь разность прогрессии й определена в качестве ежедневного прироста выработки по правилу
Действительно, в тексте сказано:
«Установи число чи, которое предположили сотканным. Объедини в одно [число] с [количеством] дней в одном месяце. То, что получится, удвой. Удвой также число чи в первый день, вычти;
156
остаток есть делимое. Вычти один первый день из числа дней в одном месяце, остаток есть делитель. Делимое составь с делителем и получишь одно [число]» [Там же].
Как была получена эта формула? Возможно, путь был таким. Используя формулу суммы и выражение для последнего члена прогрессии, получили
_2а1-\-(п~1)а оя—-2-п'
Отсюда сначала определили величину
А = |[2а1 + (п_1)й],
а затем получили указанное выше выражение для о1.
Отметим, что при определении числа членов прогрессии величина ?я/я, заданная вместо Бп, позволяет избежать квадратного уравнения, хотя в Китае уже умели их решать. В трактате Чжан Цю-цзяня приводятся задачи на решение квадратных уравнений, и можно считать, что 5я/л было им задано специально, чтобы обратить внимание на свойства этой величины. Это есть не что иное, как член прогрессии с номером (тг+1)/2, если число взятых членов
нечетное, и члены с номерами ^, -^- + 1, если число взятых членов
четное. Кроме того, величина 8п1п равна полусумме двух любых равноотстоящих членов, в том числе первого и последнего:
