Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
уп2 + (ах — у) п = 5.
К этой задаче тесно примыкает по своей теме следующая задача 1 свитка 16, в которой также рассмотрена прогрессия.
«Задача о том, как одна армия строится в виде круга. Для того чтобы расположиться в круглом лагере из 9 рядов, каждому солдату надо уместиться на 6 чи по обочине круга, причем между рядами вдвое больше. Одна четвертая часть [армии] была послана в стан врага для того, чтобы застать его врасплох. Нельзя сузить лагерь меньше указанного. Необходимо допустить, чтобы, как
159
прежде, лагерь был заполнен оставшимися солдатами. Как узнать внутреннюю и внешнюю окружности первоначального лагеря, а также число людей, в них расположенных; и после убытия каждое количество солдат, число чи для стоянки, число людей во внешней окружности?» [105, с. 387].
Итак, в задаче требуется найти длины окружностей, внутренней и внешней, число солдат на них, а также число солдат на них после отсылки на задание и получившуюся «норму» приходящегося на одного солдата расстояния «по обочине круга».
Таким образом, в нашей символике задано число кругов п, или число членов арифметической прогрессии, которую составляют количество солдат на концентрических кругах лагеря N1, .. Nn с прежней разностью й=12. Разумеется, известна численность всей армии, хотя в задаче она не названа. Во второй задаче предыдущего свитка указано, что в армии находится 12 500 человек.
Имея формулы для суммы арифметической прогрессии и для N„1
д== Яі + Пя п> + ("-!)<*.
получаем выражение для первого члена
N _ ? — (к — 1) тгс
Именно так решает задачу Цинь Цзю-шао. Он предлагает следующий алгоритм:
1) вычисляется число дуань, т. е. число промежутков между рядами
(л-1)=9 - 1=8;
2) вычисляется число чуй, или длина промежутков в единицах
чи
(п - 1)Т=8.6=48;
3) подсчитывается «коэффициент», т. е. вся длина диаметра кольца
(тг-1)ги=48.9=432;
4) составляется разность
?-(л-1)їп=12 500 - 432=12068;
5) разность делится на число рядов:
Ох=12068/9;
6) далее вычисляется длина внутренней окружности
с=1340.6-8040 чи.
Интересно отметить, что средневековый автор не пользуется непосредственно формулой для Ип при вычислении последнего члена прогрессии, или внешней окружности, а выбирает иной путь. Он подсчитывает число фанъ 96.6=576 чи, а затем С=
160
= 8040+57.6 - 8616 чи, также #„ = 8616/6 = 1436 (человек), т. е. Цинь Цзю-шао сразу получает длину внешней окружности (в мерах длины), а затем подсчитывает, сколько людей на ней разместится. Дальнейшие вычисления в задаче тривиальны и не относятся к прогрессиям, опустим их.
Что касается суммирования рядов, то упомянем лишь несколько имен, отмеченных в истории китайской математики. Шэнь Ко (XI в.) в книге 18 своих «Рассуждений Мэнси» («Мзнси битанъ», 4086) вычисляет ступенчатую усеченную пирамиду, состоящую из п слоев, которые имеют форму прямоугольников. Соответствующие стороны этих прямоугольников последовательно увеличиваются сверху вниз на единицу. Пусть в верхнем слое аЪ шаров, тогда искомая сумма ряда
Б=аЪ+ (а+1) (Ь+1) + . . . + [а+ (п- 1)].[Ь+ (п - 1)]. Шэнь Ко пользуется правилом:
5 = ? [а (2а + В) + А (2В + Ъ) + (В - Ь)],
где А=а-\-п — 1, 2? = Ь+тг — 1. Как оно было получено, можно только догадываться. Он не поясняет этого в своем сочинении. Однако существует гипотеза о выводе этой формулы [102]. Ян Хуэй (XIII в.) приводит правила суммирования рядов
п п
2 к и 2 /с2, а также ряда треугольных чисел
к=1 к=1
1 + 3 + 6+.,.+4»(п + 1) = 1Л(» + 1)(я + 2).
Особенно много занимался числовыми рядами Чжу Ши-цзе [95, т. I, с. 339-352].
Глава третья
проблема деления с остатком
12. Еще раз о делении
В начале этой главы мы рассмотрели историю деления, перейдем теперь к исследованию самой этой операции и к области ее приложения. Что произошло в результате ее постепенного освоения?
Как мы установили, первым числовым множеством были целые числа и натуральные дроби. Деление в таком множестве выполнимо в относительно редких случаях: когда делимое кратно делителю и когда частное-дробь совпадает с какой-либо натуральной дробью. Составляло ли это существенное ограничение в вычислительной деятельности древних? Оказывается, совсем нет. Вначале древ-
Н Э. И. Березкина
ние нецелую часть частного просто выражали как-либо описательно или совсем отбрасывали его, давая округленное значение. Затем стали применять различные способы выражения остатка, каждый из которых характеризовал вычислительную культуру данного периода и был связан с тем или иным представлением о числе.
Как свидетельствует Ли Янь, в исторических хрониках «Хуай-нань-цзы», «Истории династии Цзинь», существуют примеры, в которых нецелое частное заменялось целым числом, вероятно, без какого-либо определения степени его приближения к истинному значению [95, т. I, с. 15]. Иногда эта неточность отмечалась словами: «имеется остаток» (ю юй), «имеется еще нечто» (ю ци)у что указывало на нецелостность частного, или строго говоря, на невыполнимость деления в целых числах. В свитке 37 «Истории Ранней Хань» сообщается:
«Чжоу вернулся за 5 с лишним ли отсюда» [Там же]. Или в первой книге «Математического трактата о чжоу-би», самого раннего из трактатов «Десятикнижья», дробное частное записано при помощи второго выражения:
