Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
п ~~ ~а1 ' 2 •
Это значит
В правиле к задаче 1 средней книги описано вычисление по этой формуле:
«Имеется двор, дает [в среднем] серебра 1 цзинь 8 ланов 12 чжу. Семьи по своей зажиточности неравны. Пусть теперь дворы в соответствии с разницей в рангах сообща производят плавку, [так что] самый нижний двор выдает 8 ланов серебра, а разница следующего двора [с предыдущим] каждый раз увеличивает [долю] на'3 лана. Спрашивается, сколько дворов?».
«Способ: установи количество цзиней, ланов, чжу в серебре, которое выдает двор, вычти из него количество ланов, чжу в серебре, которое выдает самый нижний двор. Остаток удвой, сложи с количеством ланов, чжу, на которые увеличивается разница; это делимое. Количество ланов, чжу в разности есть делитель. Делимое и делитель объедини в одно [число]» [51, с. 39].
С этой задачей интересно сравнить предыдущую, которая является последней задачей первой книги трактата.
«Имеются люди, дают цяни. Первый человек дает 3 цяня, следующий человек дает 4 цяня, следующий человек дает 5 цяней, так
157
что каждый следующий дает на один цянь больше [предыдущего]. Наконец, собрав со всех, сложили вместе и снова разделили, распределив поровну. Каждый человек получил по 100 цяней. Спрашивается, сколько было всего человек? Ответ: было 195 человек» [51, с. 38—39]. В ней натуральный ряд чисел начат с 3; поскольку здесь й=1, то правило упрощается:
Еще раз встречается «усредненная норма» в задаче 13 средней книги трактата Чжан Цю-цзяня, но эта задача на пропорциональное деление [51, с. 42—43]. Среднее арифметическое в древней математике применялось часто; его свойства были хорошо известны и, так же как линейная зависимость, были универсальным средством для решения ] многих задач.
В общем виде задачу отыскания числа членов арифметической прогрессии мы находим у математика XIII в. Цинь Цзю-шао в его сочинении «Девять книг по математике». Его задачи на прогрессии содержатся в свитках 15—16 (восьмая книга сочинения «Класс задач на военные построения»), В задаче З^свитка 15 по данным сумме ? и ее первому члену аг определяется число п членов арифметической прогрессии. Известно, что
Отсюда получается квадратное уравнение относительно п:
Поскольку Цинь Цзю-шао специализировался на решении уравнений любой степени численным методом, то он занимался и решением квадратных уравнений. Надо полагать, что из различных задач на арифметические прогрессии он специально выбрал такую, которая бы привела к нелинейному~]уравнению. Прочтем средневекового автора:
«Задача. Идут солдаты, 2600 человек,"в^виде^кругового построения. Каждый человек занимает 9 чи'по обочине круга 16. . . Промежутки между рядами удваивают число чи, которое приходится на одного человека, стоящего на обочине круга/ Пусть диаметр внутренней окружности 72 чжана. Делитель круга употребляется в виде коэффициента отношения окружности к диаметру, как 3 к 1. Как узнать число рядов в построении, а также внутреннюю и внешнюю окружности, их общий диаметр, при этом количество людей, стоящих на них?» [105, с. 383].
Далее несколько иероглифов остались мне непонятны. В книге У. Либ-брента об этом сочинении Цинь Цзю-шао перевода этой задачи нет, хотя решение приводится [142, с. 174].
или
(1^+1(2^ - й)гс=2?.
158
Таким образом, задано некоторое кольцо с внешней и внутренней окружностями С и с соответственно (рис. 9). Длину их следует определить, и следует подсчитать также число солдат, размещенных на них: Ып и Ыг соответственно. Задан диаметр внутренней окружности с?, требуется найти диаметр внешней окружности И, который назван «общим диаметром». Кроме того, надо найти число п рядов (чжун), находящихся в толщине кольца Л= (О — д)12. Именно эта величина п (число рядов) является числом членов арифметической прогрессии, которую составляет количество солдат, размещенных на концентрических кругах. Их сумма известна. Легко подсчитывается длина внутренней окружности, поскольку ее диаметр известен (здесь тс=3), а также число солдат на ней.
С = ^ = 3.720 = 2160, #1 = 2160/9 = 240 (солдат).
Далее согласно правилу к задаче находится число п из квадратного уравнения
6и2+234гс=2600.
Приближенное значение корня п=9. Чтобы он был точно равен Рис. 9
этому значению, необходимо иметь свободный член равным 2592.
У равнение. было получено ,Тпо-видимому, так. Общее количество солдат на концентрических кругах есть сумма п членов арифметической прогрессии, у которой^первый^член найден равным =240. Разностью прогрессии является число 12=с1. Половина этого числа <2/2=у называется «коэффициентом разности для круглого пучка» (юань су ча люй) или просто «разностью кругов» (юань ча) (ср. с. числом тс, которое называется «коэффициентом круга» (юань люй)). Надо полагать, что значение данного коэффициента т общеизвестно, оно не указано в условии задачи, так же как не указано и в следующей задаче, для решения которой этот коэффициент снова потребуется. По формуле суммы для п членов арифметической прогрессии и выражению для га-го члена прогрессии ав=ах+ (п — 1)й находится число п:
