Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь хорошо видно, насколько прозрачным является решение при т=1. Следующая задача также не загружена вычислениями. Но этими двумя задачами лишь начинается знакомство с методом. Правило на «Расчет, когда имеются разного рода предметы» сформулировано в общем виде для дробного піт. В следующих задачах 40—43 (в них п > т) на одну и ту же сумму 13 970 цяней покупают шелковую пряжу одного и того же веса: «1 дань 2 цзюня 28 цзиней 3 лана 5 чжу». Вопросы в задачах, точнее в четырех вариантах одной и той же задачи, ставятся относительно «дорогих и дешевых» даней, цзюней, цзиней и т. д. В зависимости от того, какая мера принимается за основную, производится пересчет заданного именованного числа в эти единицы. Для древнего вычислителя эта процедура была немаловажной. Во всех видах задач, например в предыдущей группе на расчет стоимости, всегда обращали внимание на эту сторону расчетов. Напомним, что вычисления|здесь значительно усложняются из-за неоднородности и недесятичности весовой шкалы мер: 1 данъ=4 цзюням= —4.30 цзиням=4.30Л& ланам=А>30Л6*2і чжу. Таким образом,
79949 79949
п/т последовательно принимает значения: /впяп даня, т2П цзюня,
Am_ их' -f- vy'
— — х'+у'
хи-\-уи = 576, 3 + ^ = 78,
v — и — 1.
164
79949 „ 79949 /700/0
-щ- цзиня, 24 лапа (79 949 чжу, которые содержатся в заданном
количестве шелка). Тогда решение, например, задачи 40, где оцениваются «дорогие» и «дешевые» дани, будет следующим:
13970.46080 643737600 , *о о™ -79949-= 79949—= °051 (в остатке 6о201 чжу, что составляет 1 дань 27 цзиней 9 ланов 17 чжг/). Определены и и у', можно вычислить и и х'.
В правиле совершенно четко преподносится именно такая последовательность действий:
«Каждый раз установи количество даней, цзюней, цзиней, ланов в купленном, это делитель. То, сколько самых мелких единиц содержится в единице, стоимость которой определяется, умножь на количество цяней, это делимое» [50, с. 455—45.6].
Очевидно, далее надо разделить делимое на делитель, на что и указано в правиле. Его конец посвящен, по всей видимости, проверке задачи.
Последние задачи 44—46, наконец, посвящены «Расчету стоимости предмета каждого вида в отдельности на одну монету», когда система приобретает вид
х ! V
п==х-{-у, 1=и — и,
где теперь и, и не стоимость дорогой и дешевой вещи, а их соответствующее количество на 1 монету. Решение соответственно будет таким:
п =(х + у)ии _ц | у 1 А XV + иу и А *
Отсюда легко определяются и и х.
В разряд этих задач попадает тот вариант, когда вес купленной шелковой пряжи выражен в самых мелких мерах чжу (задача 44). Ее решение
п _ 79949 _ е . 10099 А ~~ 13970 — °"Г їздуо •
Так как
Ж-=ТХ' ^ = 13970, т. е. і = 10099,
то
V = и+1=6, г/ = 10099-6=60594 чжу,
что составляет 1 дань 1 цзюнъ 7 цзиней 12 ланов 18 чжу. Далее легко подсчитать х=п — у = 19 355.
165
14. Системы сравнений первой степени. Задачи Сунь-цзы и Цинь Цзю-шао
Первая задача на систему сравнений в классах вычетов зафиксирована в «Математическом трактате Сунь-цзы» (III в. н. э.). Современное решение таких задач имеется в книге И. М. Виноградова «Теория чисел» [27, с. 57]. Весьма возможно, задача была более древнего происхождения и в «Математику в девяти книгах» не попала потому, что по своему характеру не подошла ни к одной теме ее разделов. У Сунь-цзы задача «на остатки» помещена в последней книге трактата, она единственная.
«Имеются вещи, число их неизвестно. Если считать их тройками, то остаток 2; если считать их пятерками, то остаток 3; если считать их семерками, то остаток 2. Спрашивается, сколько вещей?» [49, с. 37, задача 26].
Таким образом, задана система сравнений первой степени с одним неизвестным (запись в нашей символике, которой мы обязаны К. Гауссу)
х = 2 (mod 3), х = 3 (mod 5), х = 2 (mod 7),
где х — неизвестное число «вещей». Модули взаимно просты: (3? 5? 7)=1, наименьшее решение х = 23. Общее решение
х = 23 (mod 105).
Эта задача была широко известна в народе и благодаря совпадению имен служила примером особой мудрости полководца Сунь-цзы.
Каким образом было получено решение системы? Согласно методу, изложенному в [27], составляется ряд произведений модулей т4 на дополнительные до наименьшего общего кратного множители М4:
/71^ = 3 . 35 = 5 . 21 = 7 . 15 = 77i1m2tfi3 = 105. Далее надо определить вспомогательные числа М[=2, М'2=1, Мд=1, которые удовлетворяют сравнениям
35М;==1 (mod3), 2Ш; = 1 (mod 5), 15У1/; = 1 (mod 7),
или то же самое
2М; = 1 (mod3), М; = 1 (mod 5), M'3 = l (mod 7).
Отсюда очевидны указанные значения М\. Тогда решение будет
В Виде х^х0 (mod лдаз),
где
166
Для данной задачи Сунь-цзы
*0=35.2.2+21-1.3+15.1.2=233
и
я = 233 —105-2 = 23.
В правиле к задаче Сунь-цзы сначала называются числа М1М\Ъ1 и то, как составляется из них искомое число, а затем называются числа М4М[.
Вот русский перевод этого правила:
«Способ: при счете их тройками и остатке 2 установи 140; при счете их пятерками и остатке 3 установи 63; при счете их семерками и остатке 2 установи 30; сложи это, получишь 233. Из этого вычти 210 и получишь [искомое]. Вообще [если] при счете их тройками остаток 1, то установи 70; [если] при счете их пятерками остаток 1, то установи 21; [если] при счете их семерками остаток 1, то установи 15. [Если сумму] больше 106, то вычитай 105 и получишь [искомое]» [49, с. 37].
