Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
«. . .Расстояние с востока на запад по диаметру 26632 с лишним ли» [100, т. I, с. 21].
Весьма любопытно, что число, как это указано в комментарии, было получено в результате арифметической операции:
810 ООО — 783 367 с остатком = 26632 с остатком.
Это показывает, что словесное указание на остаток было не только устной традицией (как иногда мы говорим: «Отсюда до ближайшего населенного пункта 23 км с лишком»), но употреблялось в вычислительной литературе в качестве первоначальной попытки фиксирования дробного числа (при измерении, но не при делении). Операция деления стимулировала введение дробей, но в свою очередь, не имея в своем распоряжении дробных чисел, древние не могли выразить частное точно. Получался как бы замкнутый круг, разорвать который надлежало древнему математику.
Можно установить попытки указывать точный остаток при помощи объявления остатка от делимого, когда целая часть уже найдена. Характер такого представления особенно ярко виден при сравнении деления с извлечением корня из неполного квадрата и указания на остаток от подкоренного выражения:
\/А+а^Ь (в остатке а), где Ь2=А. В подобных примерах представления остатка нет оценки его при помощи неравенств. Возможность дать приближенное значение результата при помощи округления или итерации была обнаружена гораздо позже. Еще в «Математике в девяти книгах» ее составители, зная правила округления, предпочитали тем не менее употреблять такой способ указания остатка, о каком выше было сказано.
Например, в дополнении к задаче 7 книги V «Математики в девяти книгах» подсчитывается, сколько рабочих потребуется для того, чтобы вырыть канаву объемом в 10074586,6 куб. еди-
162
ниц, если норма рабочего составляет 300 таких единиц. В ответе указано: «33582 человека, не хватит 14 чи 4 цуня», т. е. одному рабочему не хватит до выполнения нормы 14,4 куб. единицы [50, с. 473]. Здесь произведено (и произведено правильно) округ-
2856
ление числа 33581 щ^, но тем не менее точно указано, на сколько
это округление дает превышение.
Аналогичные примеры обнаруживаются в ответах к задачам «Математического трактата Сунь-цзы». В задаче 23 средней книги трактата подсчитывается количество рабочих, которое потребуется для того, чтобы выкопать канаву. Ответ гласит: «32645, останется выкопать 69 чи и 6 цуней» [49, с. 32]. Или в ответах к задачам 6 и 7 последней книги трактата записано: «1975 штук, и останется еще 12 ху», — столько повозок потребуется для доставки налога (по-видимому, зерна); а также: «3950 человек и еще 16 тяглых», — под этим следует понимать количество солдат, которые смогут поставить тяглые из расчета, что 25 тяглых выделяют одного солдата [49, с. 34]. В обоих случаях не указано приближенное значение частного (остаток меньше половины й больше половины делителя). Проблема остатка была бы решена, если указанный остаток был оценен по отношению к делителю, именно делением на него. Это было бы измерением его в долях делителя,что означало бы переход к изображению остатка с помощью дробей.
13. Деление с остатком
Приведем здесь одну иллюстрацию того, насколько хорошо понимали древние невозможность деления в целых числах для любого случая. Рассмотрим зад|%1ряа деление с остатком, которые расположены в конце книги II «Математики в девяти книгах» [50, с. 454—456]. Они встречаются иногда и в других трактатах «Десятикнижья».
Эта книга в основном посвящена пропорциям (задачи 1—31 на обмен различных зерновых культур). Далее идут задачи 32—37 на расчет стоимости предмета, который закупают на определенную сумму монет, также основанные на пропорциях. Наконец, тема обобщается: на А монет закупают не один, а два рода предметов, общее количество которых в задаче определено как п/т. Здесь может быть 7п=1 (задачи 38, 39, 45 и 46) и п > 771, как в предыдущей группе задач на стоимость предметов.
Если через х обозначить количество предметов по стоимости и цяней за штуку, а через у — количество предметов по V цяней за штуку, то условия задач 38—44 можно записать в наших обозначениях системой
А=их^у,
163
11*
или
Am —их -\-vy\ п = х'-\-у\
где хг = тх, у'=ту. Кроме того, судя по ответам, всегда еще имеется в виду, что и — и=1, хотя в условиях задач об этом ничего не сказано. Таким образом, решение задач сводится к системе трех уравнений с четырьмя неизвестными; число неизвестных больше числа уравнений, и, казалось бы, получается неопределенная задача. Но задача имеет единственное решение, деление производили в целых числах:
Отсюда сразу определяется и как целая часть частного Amin и также у' как числитель дробной части, или «сам» • остаток от делимого. Далее легко находятся v=u-\-l, х'=п — г/'.
Приведем в качестве примера задачу 38, первую из этой группы: «Затратили 576 цяней на покупку 78 бамбуков. Среди них есть большие и маленькие; спрашивается, сколько каждых? Ответ: среди них 48 штук по 7 цяней, среди них 30 штук по 8 цяней» [50, с. 454].
Эта задача сводится к системе
Решение находится просто: делим 576 на 78, в частном 7, в остатке 30, т. е. ц=7, #=30, тогда у=8, я=78—30=48.
