Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Иньцы считали десятками и в пределах только первого класса. Самое большое число, встречающееся на костях, 30 ООО. Среди различных числовых записей много чисел, кратных 10 и его степеням: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 800, 900, 1000, 3000, 4000, 5000, 8000, 10 000, 30 000 [94, с. 3—4]. Эти записи указывают, что счет был десятичным и предельным числом был ванъ — 104; вероятно, этого было вполне достаточно для практических нужд. Возможно, что четырехразрядность классов — дань традиционному, ограниченному владению числовым рядом. У многих древних народов число 4 (от двоичного счета) было священным. Пифагорейцы клялись этим числом.
Представим себе древнего жителя эпохи Инь, которому, например, надо пересчитать какие-нибудь плоды. Ведя счет десятками, счетчик из каждых 10 плодов составляет кучку. Когда таких кучек наберется 10, все плоды, а их 100, инец соберет в одну кучу. В свою очередь каждые 10 таких куч образуют большую кучу, груду, в которой всего 1000 плодов. Десять груд составят, наконец, огромную кучу, больше которой или больше нескольких таких больших куч плодов практически быть не может. В сознании счетчика каждой куче плодов, которые различаются на глаз, соответствует свое число и свое «имя»: 10, 100, 1000,10 000 — десяток, сотня, тысяча, ванъ. Но пока он воспринимает эти кучи больше как совокупности плодов (числа), нежели как новые разрядные единицы (имена). Вот если бы каждой куче из 10 плодов счетчик поставил в соответствие какой-нибудь цветной шар, например красный, тогда 100 плодов представились бы 10 красными шарами. Предположим, что кучу из 100 плодов обозначили зеленым шаром, тогда 1000 плодов отождествилась бы с 10 зелеными шарами. Белый шар обозначал бы груду из 1000 плодов, а черный — 10 белых шаров, т. е. 10 000 плодов. В этом случае красный, зеленый, белый, черный шары и есть числа-совокупности в своем новом качестве. Каждый из них не столько обозначает определенное число-груду из 10, 102, 103, 104 плодов, сколько новую единицу, разряд числа. В таких обозначениях числа, кратные 10, будут соответствовать какому-то количеству (в пределах десяти) шаров одного цвета и будут символизировать кучи плодов соответствующего размера.
6 э. и, Березкина
81
Мы старались показать формирование мультипликативного принципа (введение цветных шаров). Для чисел, кратных 10, он применим легко. А как поступали в общем случае при записи числа общего вида? Может быть, на иньских костях нет таких чисел? Напротив, подобных записей немало. Это изображения чисел: 11, 12, 13, 14, 15, 25, 33, 37, 41, 56, 157, 164, 199, 299, 348, 350, 659, 2626, 13 081 (сюда же включены числа, выгравированные на иньской бронзе) [94, с. 4].
Для этих записей характерно употребление составных иероглифов и употребление соединительного союза «и» между разрядами. Например, число 659 начертано на бронзовой чаше-треножнике «Даюй» в виде ^ э> X (буквально: «шестьсот и пятьдесят
и девять») [88, с. 33—34] б. Числа 600 и 50 являются составными иероглифами, а между ними и цифрой 9 стоит союз «и». Такого рода комбинации не были постоянными. Например, для 50 встречаются другие варианты: ? или Х|. Последнее, раздельное написание характерно для чисел, кратных 10: число 30 встречается в виде = \ [94, с 18], число 5000 — в виде [88, с 33—34]. Составные иероглифы указывают на то, что степени десяти еще не осознаются отчетливо в своем новом качестве, именно в качестве названий разрядов, которое уже ясно в более простых числах, как 30, 50, 500. (Для древнего еще кучи плодов, а не цветные шары.) Поэтому потребовался соединительный союз для усвоения компактности, связности, единства числовой записи (соответственно все плоды надо считать в единой куче).
Постепенно, с освоением мультипликативного принципа, союз «и» исчезает. Вот пример «чистой» записи: ^= ^ ^ ^ буквально:
«две тысячи шестьсот пятьдесят шесть» [94, с. 33—34]. Другой пример, в котором нерегулярно употребляется и союз, и составные знаки: н ® ^ Н4/ / V • Здесь изображено число 348, буквально: «три сотни и сорок восемь» [88, с. 33—34].
Итак, вначале раздельное написание чисел, кратных степеням десяти, комплексная запись составными иероглифами и употребление соединительного союза; затем отказ от соединительных слов, а также переход к раздельному написанию числа общего вида, — вот этапы формирования именованной позиционной системы, ведущей происхождение от группового счета. Иньские тексты свидетельствуют о таком образовании китайской нумерации. Посмотрим, как она развивалась далее.
6. Большие числа
Как мы видели, для счета древнему китайцу сначала было достаточно четырех разрядов, которые и образовали первый класс. Свидетельством этого служит фраза из «Истории Ранней Хань»„ приписываемая исторической традицией Бань Гу:
$ Перевод цитаты полностью см. в книге Го Мо-жо [87,_с. 58].
82
«Счет ведут единицами, десятками, сотнями, тысячами и ва-нями» [94, с. 18] 6.
Действительно, ванъ, т. е. 10 ООО, первоначально считался предельным числом. В «Цзо чжуань» (IV в. до н. э.) говорится:
