Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
«Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась сокрытой» [6].
Рассмотрим, когда и для чего был введен нуль в позиционных системах. Подчеркнем одно общее обстоятельство: этот знак обычно вводился на заключительном этапе развития нумерации.
У вавилонян нуль был введен на закате развития их системы счисления. Это можно объяснить как наличием большого основания, так и существованием счетного прибора, когда в нуле не особенно нуждались. Но когда в V в. до н. э. вавилонские астрономы стали проводить вычисления с большими числами, был введен специальный разделительный знак, ставившийся внутри числовой записи. Он обозначал отсутствующий разряд или часть его (в шестидеся-теричной системе разряды двузначны), до этого делали просто пропуск в записи. Александрийские астрономы, записывавшие целые числа в греческой алфавитной системе, следуя за вавилонянами, пользовались шестидесятеричными дробями, знаки которых они записывали алфавитными знаками от а=1 до ^=59. Именно для обозначения дробей они ввели для нуля букву о (омикрон), численное значение которого «70» не встречалось при обозначении дробей. Считалось, что выбор буквы о объясняется тем, что это первая буква слова ооВеу — «ничто».
Китайцы повторяют путь вавилонян. В их именованной позиционной системе нуль не нужен, а на счетной доске достаточно было оставить пустую клеточку, равносильную пропуску в поздне-вавилонской нумерации. Настоящий нуль зафиксирован у Цинь Цзю-шао в XIII в.
77
Как полагают [114], этот нуль в виде кружка О получился от первоначального его изображения в виде клеточки счетной доски ? , употреблявшегося в календарных разделах «Истории династии Тан» и «Истории династии Сун». Но уже в календаре «Да мин» употребляется кружок.
Словесный нуль в Индии появился в V в. в виде термина «сунья» (ничто). Нуль в виде точки зафиксирован в надписи на каменной стелле 876 г. из Гвалиора (Индия), где изображено число 270 [159]. Однако сравнительно недавно были найдены более ранние свидетельства употребления нуля в виде точки и в виде кружочка на территории Индокитая, относящиеся к 683 и 686 гг.
Вопрос о том, где возник нуль, обсуждался многими историками науки [160]. Г. Фрейденталь [126] и за ним Б. Л. ван дер Варден [23, с. 77] полагают, что нуль был заимствован от греков индийцами, пользовавшимися при составлении «Сурьи-Сиддханты» сочинениями александрийских астрономов. Действительно, в «Сурье-Сиддханте» много греческих терминов (кендра — расстояние до центра, липта — минута и др.). В VI в. в трудах Джинабхадро Гани и других индийских астрономов порядок следования цифр в числовой записи изменился. Стали писать, как греки и вавилоняне, от старших разрядов к младшим, тогда как ранее писали, начиная с единиц и десятков; обыкновенные дроби стали изображаться, как в позднегреческих папирусах: числитель под знаменателем, без разделительной черты.
С другой стороны, на основании новых находок Дж. Нидем считает, что нуль пришел в Индию не с запада, а с востока и что он возник на стыке индийской и китайской культур [150, с. 11]. В пользу этой гипотезы говорит то, что в китайской системе счисления число всегда записывалось от старших разрядов к младшим, а дроби располагались на счетной доске так, что числитель оказывался над знаменателем. Отметим также, что VI столетие — период довольно интенсивного обмена культурными ценностями между Китаем и Индией, который происходит вот уже несколько веков.
Таким образом, всем пунктам гипотезы Г. Фрейденталя можно противопоставить аналогичные пункты, связанные не с греческим, а с китайским влиянием. Тем не менее пока у нас нет достаточных данных, чтобы отдать предпочтение одной из указанных двух гипотез.
4. Узелки и зарубки
Предыстория китайской системы счисления начинается в глуби веков, во время формирования первоначальных математических представлений человека на самых первых этапах его развития. Еще до возникновения письменности существовал, по-видимому, устный счет и элементарные способы фиксирования чисел при помощи узлов на веревках и зарубок на дереве. Это было первым примитивным моделированием: замена при счете пальцев рук и ног моделью.
В древнекитайских классических текстах имеются упоминания о подобных способах фиксирования чисел. В комментарии «Си цы
78.
чжуань» к знаменитой «Книге перемен» записано: «В глубокой древности пользовались узелками на веревках и управляли (государством], а впоследствии мудрецы заменили их зарубками на дереве» [92, с. 1 ]. Философы Лао-цзы и Чжуан-цзы, жившие в VI— V вв. до н. э., подтверждают эти способы представления чисел. У нас нет оснований сомневаться в таких сообщениях. Многие народы недавнего прошлого, не имевшие письменности, прибегали к помощи веревки или дерева. Хорошо известны в литературе перуанские квипу — узелки на цветных веревках, фиксировавшие долговые обязательства инков. Существуют свидетельства о древних персах и об индийских племенах прошлого века, обозначавших числа с помощью узелков на веревках [6]; от таких узелков, кстати, произошли четки. В северном^Китае, в Тибете, на островах Рюкю, а также у народности мяо еще в нашем столетии можно было обнаружить квипу у земледельцев [92, с. 1].
