Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Сведения о счетных приборах содержатся в исторических и других книгах, дающих описание древних эпох. В частности, в первом китайском словаре I в. н. э. «Шовэнь» приводится толкование счетных палочек суанъ: «Суань — прибор из бамбука, длиной в 6 чи, употребляется при вычислениях календаря» [95, т. IV, с. 1—8]. Самое раннее название счетных палочек цзе, широко распространены были также наименования суанъ-цзы, чоу, чоу-суанъ, чоу-цзе7 суанъ-чоу [94, с. 139—144]. Длина счетных палочек менялась, со временем они становились короче. Пдлочки делались из бамбука или веточек дерева, позже из слоновой кости, металла, нефрита. С открытием отрицательных чисел стали употреблять две формы палочек: с квадратным сечением (отрицательные) и треугольным: (положительные) или (например, у Лю Хуэя) двух цветов: черные (отрицательные) и красные (положительные). Комплект палочек с треугольным сечением состоял из 216 штук, так что они в сложенном виде в сечении представляли шестиугольник, а квадратные палочки — квадрат, вмещающий 144 штуки.
Полагают, что счетные палочки появились не позже IV в. до н. э., в период расцвета древних наук эпох Чуньцю и Чжаньго ими широко пользовались. В эпоху Тан счетные палочки носили у пояса в чехле, и тогда их делали пустотелыми, цилиндрическими.
Очевидно, в приведенной выше цитате из «Шовэня», которая в той или иной вариации повторяется в более поздней литературе, имеется в виду не только набор счетных палочек, но именно счетный прибор в целом. В самом иероглифе суанъ (его древнее начертание было несколько иным) в верхней части (того и другого) пишется знак бамбука. Средняя часть старого иероглифа означает «манипулировать». В современном иероглифе можно усмотреть изображение разграфленной доски, на которой располагались счетные палочки. Была ли доска действительно разграфлена так, как показано в иероглифе, или наподобие шахматной доски — точно не известно. Сначала счетные палочки раскладывались просто на столе или ровной площадке, а затем на специальной разграфленной доске.
87
8. Позиционный принцип
Каким образом изображались числа на счетной доске? При помощи единичных палочек по пятеричной системе — отвечают на этот вопрос Сунь-цзы и Сяхоу Ян в своих трактатах:
«Начиная с шести и более пятерка кладется наверху. Шесть не есть [простое] собрание счетных палочек, пять не есть единичная палочка» [49, с. 23; 100, с. 558]. Эта рифмованная песенка-поговорка в негативной форме сообщает о построении чисел от 1 до 5 при помощи простого собрания единичных счетных палочек: в числах же от 5 до 9 первые пять палочек заменяются одной, положенной перпендикулярно остальным (см. две последние колонки на рис. 3). Для представления многозначных чисел на счетной доске пользовались чередованием то вертикального, то горизонтального их положения, поскольку на доске нельзя было иначе обозначить разряды, особенно если доска не была специально разделена на колонки.
Первую письменную формулировку позиционного принципа мы находим в тех же трактатах Сунь-цзы и Сяхоу Яна. Обе формулировки почти не различаются. Сунь-цзы объясняет:
«В методах, которые употребляются при обычном счете. . . [следует] познакомиться с разрядами: единицы вертикальны, десятки горизонтальны; сотни стоят, тысячи лежат; тысячи и десятки выглядят одинаково, десятки тысяч и сотни — тоже» [49, с. 23].
Разумеется, этот принцип был выработан значительно ранее эпохи, когда жили оба автора, — счетная доска применялась уже за много веков до них.
9. Арифметические операции
Как производились четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление на китайской счетной доске, легко представить. Принципиально они не отличались от современных, но поскольку действия производились не на бумаге, а при помощи счетных палочек, то имелись некоторые технические особенности. Например, при вычислениях использованные цифры снимались с доски, так что проверку произвести уже было нельзя. Действия производились в порядке от старших разрядов к младшим: если написанное на бумаге исправлять неудобно, то положение палочек на доске можно изменить без труда. Расположение на доске чисел не было таким, какое мы применяем ныне: частное от деления двух чисел располагалось над делимым и т. п. (мы увидим это далее). Конечно, эти детали интересны для более полного и конкретного представления техники вычисления в древнем Китае, однако нам более важно рассмотреть логическую сторону операций, на которую мы постараемся обратить внимание в нашем изложении.
Очевидно, два первых действия на китайской счетной доске не представляли затруднений, чем и объясняется то, что мы не
88
можем найти их описаний ни в одном древнем сочинении, тогда как умножение и деление вызывало обсуждение у древних авторов математических трактатов. Аддитивный характер представления цифр палочками при выполнении позиционного принципа делает сложение и вычитание простыми. Судя по описанию умножения и деления, при которых производится сложение и вычитание частных произведений, два первых арифметических действия выполняются так, как это делается на наших счетах или в вавилонской нумерации, где числа представлялись аддитивно клиньями двух видов [30, с. 105]. Конечно, требуется складывать числа в соответствующих разрядах и знать правило перехода из разряда в разряд, а также учитывать пятеричность в представлении чисел; при этом можно обойтись даже без таблицы сложения, которую мы выучиваем наизусть в начальный период обучения арифметике и потому не замечаем ее применения. Действительно, «два плюс три будет пять» на доске просто означает соединение двух палочек и трех палочек вместе, в результате чего автоматически получается пять палочек. Если же палочек больше пяти, то каждые пять, как мы видели, заменяются одной, расположенной перпендикулярно остальным. Если число палочек более десяти, то каждый десяток их заменяется одной палочкой в соседнем, старшем разряде.
