Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Что касается деления, то «Правило, которое [употребляется! всякий раз при делении, прямо противоположно умножению: результат умножения находится в центре, результат деления находится в верхней строке», — сообщает Сунь-цзы вслед за описанием умножения. Это утверждение нетривиально, так как связь этих двух действий была установлена значительно позже, чем сами эти действия. Исторически они возникли независимо друг от друга и получили различные интерпретации: умножение — как задача на нахождение площади земельного участка по заданным сторонам, деление — как задача на распределение некоторого количества, например денег, между людьми.
Особое внимание при делении также уделялось расположению чисел на доске: делитель размещался так, чтобы он находился под первыми разрядами слева от делимого, в тех колонках, которые
91
составляют число, делящееся на этот делитель. Поэтому Сунь-цЗы далее специально разъясняет на конкретном примере:
«Пусть 6 является делителем, 100 делимым. Чтобы 100 разделить на 6, следует передвинуть его [т. е. делитель] по разрядам выше на две позиции, так что [делитель] окажется непосредственно под сотнями. Если 1 делить на 6, то делитель больше, а делимое меньше, и деление невозможно. Поэтому [шесть] надо передвинуть влево, в разряд десятков. Делимое дели на делитель, одно [из них] 6, а раздробленное [число] 100 является 10 десятками, поэтому можно производить деление. Если делимое больше, делитель меньше, [цифру] сотен не надо помещать в соседний разряд. Поэтому правило перехода в разряды таково: то, что [обозначает] десятки, устанавливается в разряде десятков; то, что [обозначает] сотни, устанавливается в разряде сотен» [49, с. 23—24].
Пример приводится несколько ниже, он обратен предыдущему:
6561 : 9=729. Схематически представим его так:
j /
s
а
7
2 7
ff
J
0
7 2
2 /
7 2
S 7
7
J S /
3
7 t 2
fttft l/ft
Правильность этой последовательности схем, приведенных нами, подтверждается текстом правила:
«Сначала установи 6561 в средней строке, это делимое. [Количество] „9 человек" в нижней строке есть делитель. В верхней строке установи 700. В верхней [строке] 7, в нижней 9. Семью девять [дает] 63. Вычти из средней строки 6300, в нижней строке [число] передвинь влево на один разряд. В верхней строке установи 20. В верхней [строке] 2, в нижней [строке] 9. Дважды девять [дает] 18. Вычти из средней строки 180, [число] в нижней строке также передвинь влево на один разряд, тогда в верхней строке установи 9. В верхней [строке] 9, в нижней 9. Девятью девять [дает] 81. Вычти из-средней строки 81. Средняя строка исчерпана полностью. Убери [число] в нижней строке, в верхней строке получится то, сколько получит [каждый] человек» [49, с. 25].
Такие подробности правил (это нам надо иметь в виду при чтении этих цитат) объясняются тем, что на доске не было нуля,
92
и поэтому надо было всякий раз напоминать о нуле на конце: «100 является 10 десятками», «установи 700» и т. д. Кроме того, нам следует отметить, что деление демонстрируется древним автором действительно на примере распределения поровну некоторого количества между участниками дележа:
«6561, ^человек делят это между собой. Спрашивается, сколько получит [каждый] человек?» [49, с. 25].
Еще одно замечание, которое нам в дальнейшем потребуется, касается деления с остатком. У Сунь-цзы в конце правила деления, процитированного выше, специально оговаривается: «Правило [при делении] с остатком всегда такое: если во время деления делимое имеет излишек, то объяви делитель; делитель возьми в качестве знаменателя, остаток делимого — в качестве числителя» [49, с. 24]. Специальное выражение «объяви делитель» означает, что следует, по-видимому, прочитать это число, «считать» его сТдоски именно в качестве знаменателя дробной части остатка, числителем которого будет остаток от делимого. Ниже эта процедура будет рассмотрена особо.
10. Таблицы
В истории древней математики хорошо известны вавилонские таблицы умножения, обратных значений, квадратных корней и др. У древних китайцев также были числовые, таблицы. Прежде всего необходима была таблица умножения от 1 -1 до 9«9, с применением которой мы уже встречались выше. Составлялись и другие специальные таблицы, свидетельствующие о большом размахе вычислительной деятельности в древнем Китае.
Таблица умножения называлась «Девятью девять» (цзю цзю) по своей первой строке. Это была треугольная таблица с двумя входами, в которой произведения шли в порядке от 9-9 до 1-1:
Таблица 2
9 9 = 81 8 • 8 = 64 2 2 = 4 Ы = 1
9 8 = 72 8-7 = 56 2 1 = 2
со 2 = 18 8-1 = 8 . -
9 1 = 9
Таблица заканчивалась контрольной фразой: «Всего 1155», т. е. указывалась сумма всех произведений таблицы. При распе-вании таблицы учеником наизусть и одновременном откладывании результатов на доске или на счетах «накапливается» это известное для контроля число. На счетах оно представляется косточками, расположенными по одной попарно слева и справа.
Предание приписывает изобретение этой таблицы мифическому Фуси, и тогда она была символом вообще счетного искусства. В математическом трактате о гномоне говорится: «Фуси составил для чисел „Девятью девять" и познал устройство Вселенной» [100, с. 1].
