Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
«Как только будут десятки, переходи [в следующий разряд, если] не превышает [десяти], то [оставь] в собственном [разряде]», — рекомендует по этому поводу Сунь-цзы [49, с. 23].
Вычисление производится слева направо, а не наоборот, как мы привыкли; и по мере сложения разрядов цифры второго слагаемого исчезают, а на месте первого появляются сумма, она одна и остается на доске в конечном счете. Приведем пример на сложение:
3851+472=4323.
Очевидно, числа располагаются так, чтобы в одной колонке оказались цифры одного одноименного разряда. Последовательность действий схематично можно передать так:
а ИМ ? II " ? II г? II г
Первый старший разряд первого слагаемого оставляют в покое — в этом примере его складывать не с чем (положение а), вторые в сумме дают 12, одна палочка добавляется в первый слева разряд, во втором оставляется две палочки (положение б). Далее аналогично (положения виг). Этот процесс напоминает инструментальный счет, которым, по существу, и теперь пользуются маленькие дети. Еще не зная таблицы сложения, они не могут ответить сразу, сколько будет, если сложить три и четыре, и должны воспользоваться пальцами, чтобы непосредственно сосчитать: 3, 4, 5, 6, 7.
89
Вычитание производилось аналогично сложению, расположение на доске, по-видимому, сохранялось: уменьшаемое на месте суммы — в верхней строке, вычитаемое — во второй строке снизу, разность — в пустой строке снизу.
Таким образом, непосредственно на доске можно выполнить одну простую операцию — прибавление, присоединение единицы, и для двух первых действий большего не требуется. Для двух других, умножения и деления, надо было разработать комплекс таких простейших операций. Тогда сложные операции окажутся своего рода «блоками», из которых составилась бы более сложная машина, решающая сложные задачи. В них умножение и деление уже считались бы простыми операциями. Возникает (первоначально, конечно, интуитивно) теория операций. В сочинении Сунь-цзы приведены правила умножения и деления как «методы, которые употребляются при обычном счете», — автор этого математического трактата, интересы которого лежали в области вычислений, понимал необходимость определения этих операций [83, с. И].
Вся сложность умножения заключается в том, как правильно разместить по колонкам вспомогательные произведения, т. е. промежуточные результаты. Остальное обеспечивается таблицей умножения и умением складывать. Так же как сложение и вычитание, умножение начинается со старших разрядов. Умножаемое располагается в верхней строке, множитель в нижней, а частные произведения размещаются в середине, между ними. По мере умножения цифры множителя и умножаемого исчезают одна за другой. Прочтем древнего автора:
«Правило, которое [употребляется] всякий раз при умножении, [следующее]. Установи разряды [чисел] одни под другими [так, чтобы числа] в верхней и нижней [строках] были соответственно расположены. В верхней [строке] разряды суть десятки, за десятками следуют сотни, за сотнями следуют тысячи, за тысячами. . . Нижние [разряды] умножь на верхние. Числа, которые получаются, помести в ряд в средней строке. Как только будут десятки, переходи [в следующий разряд, если] не превышает [десяти], то [оставь] в собственном [разряде]. Ту [цифру] разряда в верхней [строке], которая до конца использована при умножении, убери. Ту [цифру] разряда в нижней [строке], которая до конца использована при умножении, передвинь вместе со всеми остальными вправо. Шесть не состоит из груды палочек, пять не является единичной [палочкой]. Когда в верхней и нижней [строках разряда] перемножишь, то полностью все будет выполнено» [49, с. 23].
Далее в трактате приводится пример:
81-81=6561.
Схема действий представляется следующим образом (в наших цифрах):
90
д /
0 г
а
/
/
г
8
8 /
/
/
/
в
0 /
/
Мы видим, что разряды, в которые надо помещать частные произведения, определяются при помощи движения множителя. Это место в правиле описано нечетко, но главное заключается в том, чтобы обратить внимание на расположение множителя в нижней строке. Надо, чтобы его самый младший разряд находился под самым старшим разрядом множимого (положение а). Как только все числа разрядов умножены на первую цифру множимого (положения б и в), она убирается (положение в). Множитель передвигается вправо на один разряд (положение а), этим самым произведена подготовка к умножению второй цифры множимого на множитель (положения д и е). Вот текст решения этого примера:
«Установи разряды один под другим. В верхней [строке] 8, в нижней — 8. Восемью восемь [дает] 64, т. е. внизу 6400, [это число] занимает среднюю строку. В верхней [строке] 8, в нижней 1. Одиножды восемь дает 8, т. е. в средней строке будет 80. Передвинь вправо [цифры] на один разряд, сними в верхней строке 8 десятков. В верхней строке 1, в нижней 8, одиножды восемь дает 8, т. е. в средней строке будет 8 десятков. В верхней [строке] 1, в нижней 1. Одиножды один дает 1, т. е. в средней строке будет 1. Разряды в верхней и нижней строках убраны, и в средней строке получилось 6561» [49, с. 24—25].
