Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
93
2- ? гг
А *- Л А А
'Ч ^ ^ * ?
-*6 ^ /V УЧ.
^ ^ I ^ ^
^- Р- -г? ^ -
<& Р- ^>
?с гг -ст -*с
^ х? а? х& <Р Т + 4
--
А
Л А Л-
ль /*
V -г
? •
*г «Г
/V -Л*
А-
Ас лс
*Г
Л-
ар 2-
Л.
"Г
>
А*
ч
7
Рис. 4. Бамбуковые дощечки с таблицей умножения из Дунхуанских пещер
Это созвучно высказыванию ассирийского владыки Аштнурба-нипала, постигшего «мудрость Набу, все искусство писцов», толковавшего «явления небес с учеными жрецами», решавшего «сложные задачи с умножением и делением, которые не сразу понятны»...
Очевидно, и китайский автор имеет в виду календарные расчеты, которыми регулировалась жизнь Поднебесной. До нас дошли таблички из Дунхуанских пещер (примерно IX в. н. э.) [931. Бамбуковые пластинки еще ханьских времен, на которых лаком написан текст (см. рис. 4). Кроме этой таблицы, которую будем называть обычной, в «Математическом трактате Сунь-цзы», а также в математических текстах из Дунхуанских пещер [94,
94
с. 28—36] содержится более общая таблица умножения, которую назовем в отличие 6т первой расширенной. В ней предложены все произведения вида т2п2 и тп2, где тг=9, 8, .... 1, а т=п, . . . ..., 2,1. В^развернутом виде ближе к тексту ее можно передать так [49, с. 24—27].
Таблица 3
9 9 • 81=6561 6561 9 = 729 .. 2 2 4 = 16 16 4 = 4 1.1.1 = 1
8 9 72 = 5184 5184 8 = 648 .. 1 2 2 = 4 4 1=4
1 9 9 = 81 81 Т=81
Где применялась такая таблица, неизвестно, но что она была специально составлена по примеру обычной таблицы умножения, подтверждается фразой в конце каждого ее столбца:
«Справа [в столбце] „Девятью девять" получается 405, умножь само на себя, получишь 164025 и т. п.».
Заключает таблицу фраза:
«Справа от „Девятьюдевять" до „Одиножды один" получается всего 1155. Умножь само на себя, получишь 1 334 025. 9 человек делят это, [каждый] человек получит по 148 225» [49, с. 25, 27]. Это значит, находится
2 п.(п+(п — 1)+ ..# + 1) = 1155;
затем квадрат этого числа, а затем производится деление на 9 {в духе всей таблицы).
В «Математическом трактате Сунь-цзы» есть еще другие таблицы, назначение которых пока неясно. В одной из них вычисляются
3-1(4.3«), 2>3^=3;+1(4'ЗП)>
у (4.3*)
где л=1, 2, . . ., 11. В другой серии таблиц трактата Сунь-цзы производится перевод десятых долей в двадцатые, девятых долей в восемнадцатые и т. д., до перевода пятых долей в десятые.
11. Счеты
Китайские счеты суанъ-панъ, буквально «счетное блюдо», получили известность в истории сравнительно недавно как прибор, которым в совершенстве владели китайцы и японцы (рис. 5). В Японии счеты назывались сорабан и имели почти такое же строение, основанное на пятеричной системе, но на проволочках слева у них были не две, а одна косточка. Однажды в Японии провели соревнование между американцем, вооруженным арифмометром, и японцем, владевшим искусством счетов, победил японец [150, с. 75].
95
Рис. 5
Рис. 6. На счетах отложено 1 234 567 890 .
Трудно сказать, когда возникли счеты, но они были широко распространены в Китае в XV в. [127]. В это время существовало множество арифметических руководств, непременной частью которых было описание проведения операций на счетах [91, 96].
Китайские счеты, по-видимому, произошли от счетной доски [141 ]. Они также основаны на пятеричной системе. Основная рама разделена на две неравные части, в одной из них находится по пять косточек на каждой проволоке, в другой — по две. Каждые пять косточек одной части равносильны одной косточке в другой. Вторая из двух косточек не нужна, и в японских счетах ее не делают: ведь каждые две косточки немедленно заменяются одной на следующей проволоке, означающей более старший разряд (рис. 6).
Количество проволок бывает разным, материал для счетов используется самый различный, от бамбука до слоновой кости, как для рамы, так и для косточек.
96
После распространения бумаги счетная доска перестала, по-видимому, быть необходимой, математики XIII—XIV вв. проводили свои вычисления на бумаге, в их сочинениях появились схемы расчетов, чего не было в трактатах «Десятикнижья». Цифры, которые применяли в расчетах, были, однако, зарисовкой счетных палочек. Быть может, счетная доска применялась еще при обучении в школах, подобно тому как наши первоклассники пользуются счетными палочками или демонстрационными счетами с косточками в классе, но, оставшись достоянием учителей, она стала превращаться в счеты у вычислителей. Сначала раскладывались косточки на блюде, косточки могли быть различных цветов, двух и более. Затем косточки стали нанизывать на проволоку. История китайских счетов по древней литературе, главным образом нематематической, изложена у Лакуперье, Дж. Нидема, Ли Яня, Гудрича [91; 127, 138; 150]. Мы не будем останавливаться на подробностях этой истории, так как нас интересует древняя история, когда счетов еще не было.
Весьма примечательно, что в китайской истории мы находим не только принцип неограниченного построения системы больших чисел, но и распространение этого принципа на область дробных чисел [120, 174]. Как и вавилоняне, китайцы пользовались систематическими дробями: вавилоняне пользовались шестидесятич-ными дробями, китайцы — десятичными. Десятичные дроби у китайцев были метрологического происхождения [12, 119, 175]. Поскольку китайская нумерация была именованной позиционной, то и дроби также были именованными, а на счетной доске эти наименования как для целого числа, так и для дробных разрядов опускались, и представленное на доске число оказывалось как бы в современной позиционной записи. В области построения десятичных разрядов иногда, по-видимому, буквально соблюдали принцип образования разрядов для целых чисел. Например, в книге Лю Цзиня «Люй люй чен шу» эпохи Юань число 106368,6312 было записано так [98]:
