Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Десятки Вани 103 100 10 Единицы Тысячи Сотни Десятки Единицы ваней ху фэней
- ±1111 ? 1 III - II
Глава третья
десятичные дроби
7 Э. И. Березкина
97
Здесь в качестве единицы взята мера емкости ху, десятичные доли выражены фэнями. Класс фэней, как и класс для ху (целых), также составили из четырех разрядов: единицы, десятки, сотни и тысячи фэней.
12. Роль китайских десятичных дробей в истории науки
Десятичные дроби, как известно, окончательно вошли в математику лишь в XVII столетии в связи с логарифмами, и произошло это в Европе. Сама обстановка, как отмечают историки математики, уже в конце XVI в. была такой, что идея десятичных дробей «носилась в воздухе». Официальным годом их рождения в истории математики признают 1585 г., когда вышла в свет книга С. Сте-вина (1548—1620) «Десятая», которая была издана в качестве приложения к французскому изданию «Практика арифметики» [166]. После Дж. Непера (1550—1617), родоначальника логарифмов, где десятичные дроби широко применяются, они прочно утвердились в математике вместе с новой десятичной позиционной арифметикой и ныне стали достоянием всякого получившего школьное образование.
Однако история десятичных дробей начинается задолго до эпохи новой математики и своими корнями уходит в глубокую древность. Хотя еще в средневековой Европе математики в отдельных случаях в разное время приходили к идее десятичных дробей, они лишь повторяли историю. Законченная теория десятичных дробей была создана в трудах среднеазиатского математика XV столетия Джемшида ал-Каши, хотя дроби встречаются еще в X в. у ал-Уклидиси [38, с. 214]. Ал-Каши описал операции над ними в книге «Ключ арифметики» (1427), он пользуется десятичными дробями в «Трактате об окружности» [40].
И ал-Каши, и европейские математики строили десятичные дроби по аналогии с шестидесятеричными, которые по традиции, восходящей к вавилонским и эллинистическим ученым, применялись в астрономии. В «Ключе арифметики» ал-Каши описывает десятичные дроби наряду с шестидесятеричными и дает таблицы перехода от одних к другим и обратно. Шестидесятеричные дроби пришли от вавилонян, от которых греки унаследовали астрономию и первоначальные математические знания. Греки целую часть числа записывали в своей десятичной системе, а дробную — в ше-стидесятеричной. По древнегреческим астрономическим сочинениям познакомились в Индии и на арабоязычном Востоке, а также в средневековой ;Европе с шестидесятеричными дробями. Но так как по всему миру постепенно распространилась десятичная позиционная нумерация, то математики пришли со временем к построению десятичных дробей взамен вавилонских. Последние лишь остались в исчислении времени: час, минута, секунда.
История десятичных дробей в древнем Китае отдалена от этой эпохи на полторы тысячи лет и была совсем иной. Здесь понятие
98
десятичной дроби развивалось в «чистом» виде: ведь в Китае не было шестидесятеричных дробей. Весьма любопытно, каким образом китайские математики уловили преимущества десятичных дробей без логарифмов и тригонометрических функций, на том уровне науки, который был в то время. И еще: не было ли более тесной связи между китайской вычислительной техникой и арабо-язычной наукой, чем нам она известна без истории десятичных дробей? Возможно, что ал-Каши ввел десятичные дроби под влиянием китайцев 7. Форма записи десятичных дробей у ал-Каши напоминает китайскую. Ал-Каши иногда обозначал десятичные разряды красным цветом, или целую часть числа отделял от дробной вертикальной чертой, или заключал эти две час*ги числа в прямоугольники. Ал-Каши обычно обозначал названия разрядов десятичной дроби, но иногда называл только последний разряд. Все эти способы представления применялись и китайцами. Исторически оказались наиболее перспективными последние два способа. Даже С. Стевин пользовался ими с той лишь разницей, что вместо названий разрядов он употреблял их цифровые обозначения.
Но главное родство методов заключается, конечно, не в записи, а в области применения десятичных дробей. Ал-Каши использует их при измерении окружности, вычислении числа -л, но и китайцы применяли их также в этой области. Рассмотрим, как это делалось..
18. Метрологические дроби
Неудовлетворенный «грубым» приближением 7г=3, которым пользовались в традиционной математической литературе древнего Китая, Лю Хуэй в комментариях к «Математике в девяти книгах» вычисляет более «точное» значение при помощи правильных вписанных многоугольников. Он выражает отрезки, которыми оперирует, десятичными долями меры длины ни: цунями, фэнями («долями»), ли («порядковыми»), хао («шерстинками»), мяо («тончайшими»), ху («паутинками»). Например, «1 цунь 3 доли 8 шерстинок 6 паутинок» у него соответствует числу 0,130806. (Мы намеренно оставляем меры, имевшие хождение на практике, в китайской транскрипции и переводим остальные, чтобы подчеркнуть характер этого выражения.) Если же число не может быть выражено в пределах этих единиц, то остаток представляется обыкновенной дробью. Например, «1 цунь 3 доли 3 порядковых 9 шерстинок 9 тончайших 4 паутинки и 3/5 паутинки». Конечно, можно было бы без труда избежать инородных «хвостов», достаточно было ввести еще одно название для следующего по порядку разряда десятичной дроби. Но Лю Хуэй этого не делает даже в таких выражениях, как «9 цуней 7 долей 7 порядковых 8 шерстинок 5 тончайших 8 паутинок 9/10 паутинки».
