Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, десятичные дроби появились в области непосредственных вычислений, как более удобный, совершенный вычислительный аппарат. Но этим, конечно, значение десятичных дробей не ограничивается. Очень скоро интуитивно их создатели почувствовали другие преимущества этого :нового понятия.
103
15. Основное свойство. Операции
Каким образом производились действия с десятичными дробями? В настоящее время они никого не затрудняют, поскольку принципиально не отличаются от действий с целыми числамиг надо только знать правило расстановки запятой в результатах. Очевидно, с метрологическими дробями оперировали аналогично, только все усложнялось из-за формы дробей, в которых не была
зафиксирована запятая. Как выглядели конкретно операции с такими дробями, показывает одна характерная задача (задача 25 последней книги) «Математического трактата Сунь-цзы»:
«Имеется шест неизвестных размеров. Измеряя его тень, получают 1 чжан 5 чи. Отдельна стоит столбик длиной в 1 чи 5 цу-ней. Тень получается в 5 цуней. Спрашивается, какова длина шеста? Ответ: 4 чжана 5 чи» [49, с. 37]. Катеты двух подобных прямоугольных треугольников (рис. 7)
дают пропорцию ж = Если принять за целую единицу чжан* а1
то решение в нашей записи будет таким:
\
Рис. 7
1,5-0,15 0,225 22,5
0,05
0,05
= 4,5.
Действительно, в правиле говорится:
«Установи тень шеста в 1 чжан 5 чи. Умножь это на длину столбика в 1 чи 5 цуней. Передвинь влево по разрядам, получишь 22 чжана 5 чи. Раздели это на.тень от столбика в 5 цуней и получишь [искомое]».
Схема действий на доске по этому правилу будет такой (табл. 4).
Таблица 4
чжаны чи цуни '[доли]
1 5 множимое
1 5 множитель
1 5 частные
5 2 5 произведения
4 2 2 5 произведение
5 частное
2 2 5 делимое
5 делитель
Напомним, что действия производятся от старших разрядов к младшим и в следующем порядке:
104
1) 1 чжанЛ чи =1 чи,
2) 5 чиЛ чи=5 цуням,
' 3) 1 чжан-5 цуней=5 цуням,
4) 5 чи-5 цуней=25 десятым цуня=2 цуням 5 долям. В последнем шаге мы, по существу, дописали за китайского автора, который в правиле не пишет слова «доли», как и не указывает десятков чжанов в крайних столбцах этой схемы. Наша реконструкция основана на центральной фразе правила: «Передвинь влево по разрядам, получишь 22 чжана 5 чи». Если бы она отсутствовала, то было бы неясно, каким образом производилось умножение 1 чжана 5 чи на 1 чи 5 цуней. Решение задачи могло быть и иным:
150 цуней ЛЬ цуней=2250 кв. цуням,
2250 кв. цуней : 5 цуней=450 цуней=4 чжана 5 чи, в этом случае мы имели бы дело с обычными метрологическими, а не с десятичными дробями. Именно то обстоятельство, что площадь в 2250 кв. цуней рассматривается как линейная величина 22 чжана 5 чи, указывает на наличие здесь десятичной дроби, получившейся из 2 чи 2 цуней 5 долей умножением на 100, а эта последняя в свою очередь могла получиться только от умножения 1,5 чжана на 0,15 чжана, как показано на схеме. Для этого, как видим, автор должен был знать правило умножения десятичных разрядов, т. е. знать, что, умножая чжаны на чи, получим чи, умножая чи на чи, получим цуни и т. д.
Умножение двух дробей предполагает поразрядное сложение промежуточных результатов, частных произведений — мы получаем представление еще об одном действии, впрочем незатруднительном. Следующий шаг — приготовление к делению дробей:
2 чи 2 цуня 5 долей : 5 цуней.
Для этого число передвигают влево на две колонки, что равносильно умножению на 100 или нашему перенесению запятой вправо на два знака. То же самое надо проделать с делителем. В правиле об этом не говорится, но на доске проводится автоматически. Здесь использовалось основное свойство десятичной дроби: перенос запятой вправо или влево равносилен умножению или делению на степень десяти. Итак, при решении рассмотренной задачи вычислитель должен был применять самые разнообразные операции с десятичными дробями: сложение, умножение, деление и особо умножение на степень десяти.
В китайских текстах часто пользуются основным свойством десятичной дроби. Как на самого раннего автора, в сочинении которого употребляется умножение на степень десяти в качестве особого действия, обычно ссылаются на Сяхоу Яна. Но уже у Сунь-цзы оно применяется много раз. Для этого действия существуют специальные термины. Движение числа по разрядам влево, т. е. умножение на степень 10, выражалось фразой: шан ши чжи, буквально «поднять в десять раз». Любопытно сравнить с названиями шестидесятеричных разрядов у ал-Каши:
105
«поднятое 1 раз» означает 60, «поднятое дважды» — 602 и т. д. У ал-Каши «повысить на разряд» означало умножение на 60. Китайский термин «шан ши чжи» встречается в тексте правил к задачам 9, 22, 25, 32 последней книги трактата Сунь-цзы. В задаче 9 умножение числа на 40 разбивается на два действия: сначала умножают на 10, затем на 4. Выше мы подробно рассмотрели задачу 25, где производилось умножение на 100, тогда как в задаче 32 умножается на 10. Что же касается задачи 22, то в ней надо произвести умножение на 100, в ответе же помещено ошибочное число, полученное от умножения на 10. Следует, вероятно* предположить, что там термин не был понят поздним переписчиком и был прочитан буквально «повысить в десять раз».
