Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> История -> Березкина Э.И. -> "Математика древнего Китая" -> 50

Математика древнего Китая - Березкина Э.И.

Березкина Э.И. Математика древнего Китая — М.: Наука, 1980. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): berezkina1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 131 >> Следующая

В противовес этим вычислениям приведем общий случай деления метрологических дробей, который содержится в задаче 16 последней книги трактата Сунь-цзы, где применяются меры для тканей, не подчиняющиеся десятичным соотношениям. В задаче сказано:
«Имеется 128940 ху 9 доу 3 гэ проса. [Оно] выдано человеку,, [который] покупает шелк [из расчета] 1 пи за 3 ху 5 доу 7 шэнон проса. Спрашивается, сколько всего шелка? Ответ: 36117 пи 3 чжана 6 чи» [49, с. 35].
Здесь 1 пи=4чжанам=40 чи, и правило вычисления усложняется.
16. Древнекитайское понятие десятичной дроби
Зачем понадобились десятичные дроби древнему китайскому математику, когда в его распоряжении был хорошо разработанный аппарат обыкновенных дробей? Другое дело у вавилонян: из-за неабсолютности системы (из-за отсутствия нуля на конце число читалось неоднозначно, а в зависимости от контекстаг и сразу не видно было даже, целое это число или дробь) к систематическим дробям пришли сразу, минуя дроби обыкновенные. Кроме самых простых, типа 1/2, 1/3, 1/6 и некоторых других,, вавилоняне обыкновенными дробями не пользовались.
Систематические дроби, как показывает история, и в Китае,, и в Вавилоне, и в эллинистических странах, и в странах ислама,, и в Европе были введены для проведения больших вычислений. Их появление всякий раз свидетельствовало о новом этапе развития вычислительной техники. Они удобны тем, что действия: с ними аналогичны операциям с целыми числами.
Однако значение десятичных дробей в математике этим не ограничивается. Десятичные дроби потенциально содержат в себе бесконечность и связанные с нею проблемы, так как обыкновенные дроби выражаются конечными и бесконечными периодическими десятичными дробями, но множество всех десятичных дробей
108
этим не исчерпывается, и, например, квадратичные иррациональ^ ности дают бесконечные непериодические десятичные дроби. Понятие десятичной дроби гораздно шире, богаче понятия обыкновенной дроби, оно включает в себя интуитивно понятие действительного числа. В самом алгоритме, приводящем к десятич-лой дроби, не делается различия между числом рациональным и иррациональным. Десятичную дробь можно получить при делении пары чисел (как у Сунь-цзы), можно получить и при извлечении корня (как у Лю Хуэя), нужно только продолжать процесс по известному алгоритму достаточно долго и, после того как частное или корень вычислены в целых числах, получить последовательно десятые, сотые и т. д. доли результата.
Таким образом, появление десятичной дроби (вообще говоря, бесконечной) знаменовало для древних выход за пределы рационального числа в область действительного числа.
Десятичные дроби связаны с идеей аппроксимации и в дальнейшем привели к бесконечным рядам. Известно, что к разложению функции в ряд И. Ньютон пришел от понятия десятичной дроби как непрерывного ряда, у которого каждый следующий член (знак) дает лучшую степень приближения для данного числа. Этот аналитический характер десятичной дроби придает ей большую привлекательность в области вычислений, в которых нуждаются естествоиспытатели, желающие непосредственно видеть оценку.
В китайской математике десятичные и обыкновенные дроби развивались в равной степени [12]. В этом отношении интересно провести сравнение трех текстов: «Математики в девяти книгах», где имеются в начальном состоянии обе линии, «Математического трактата Сунь-цзы», не раз нами цитировавшегося в связи с десятичными дробями, которые в нем нашли более полное освещение, и «Математического трактата Чжан Цю-цзяня», автор которого в противоположность Сунь-цзы занимается предпочтительно обыкновенными дробями. Его вообще не интересуют вычислительные проблемы, ему представляется интересным лишь теория, он имеет в виду по большей части алгебраические методы, о чем он и говорит в своем предисловии к трактату.
Уровень вычислительного исскуства во времена «Математики в девяти книгах» требовал выражения всякого результата точно. Представляя в распоряжение китайского вычислителя рациональные числа, авторы сочинения давали ему возможность выражения любой величины — измерял ли он ее непосредственно или вычислял по заданным величинам. Иногда даже точный результат звучал нелепо. Например, оказывалось, что для выполнения некоторой работы требуется 258 и 3726/10063 человека (задача 22 книги V «Математики в девяти книгах»), или нужно перенести наполненную землей корзину на некоторое заданное расстояние 57 и 1629/2603 раза (задача 8 книги VI).
У Сунь-цзы в III в. н. э. ничего подобного нет. Числовые данные у него подобраны так, что в ответе получаются круглые числа,
109
и вычисления негромоздки. Обыкновенные дроби явно вытеснены метрологическими, для выражения которых им применены более полные, широкие системы мер, подчиняющихся десятичным соотношениям, так что дроби оказываются десятичными.
Несколько позже, в V в., было написано сочинение Чжан Цю-цзяня, которое свидетельствует о непрерывности развития линии обыкновенных дробей с алгоритмом Евклида нахождения общего наибольшего делителя, сыгравшим большую роль в развитии теории чисел.
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed