Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
а с _ ас . а р с _АЬ + а Сд + с_(АЬ а) (Сд -]~ с) ^
Т'Т-~~ыГ; Т ~д~' Ъ й — Ы >
а л с _ ад в сЪ _ ад,
Т :Т~~Т1:~ьд ~~~сТ *
Но уже в «Математическом трактате Чжан Цю-цзяня» (V в.)* деление дробей производится по обычному правилу:
а в с _ ад,
Для нас эти алгоритмы почти обычны и не представляют особого интереса (отклонения и ограничения древнекитайских правил будут рассмотрены далее по ходу изложения). Однако древние пришли к ним в результате долгого и трудного пути, поскольку тогда не существовало ни современной символики, ни современного понятия дроби.
117
2. Натуральные дроби
Самые первые дроби совсем не были дробями в том смысле, ж каком мы теперь их понимаем. Они появились одновременно с целыми числами, составляли независимое от них понятие и отнюдь не были вторичными, производными от целых чисел, какими стали позже.
На самом деле простейшие дроби 1/2, 1/3, 2/3 давали не столько количественную характеристику предмету, сколько описывали его качественно. Как первые числовые понятия не были еще достаточно абстрагированы и обозначали конкретные числа (например, пять пальцев, пять персиков, пять бревен и т. д.) или числа-качества (кисть руки как живой эталон для числа пять: т. е. конкретное множество, с которым сравниваются все остальные равномощные множества исчисляемых предметов), так и для нашего далекого предка, например, «полноля» воспринималось прежде всего конкретно: это некоторое поле, обладающее новым качеством (пусть поле с менее плодородной почвой или плохими всходами), из-за которого его отделили, отрезали от другой половины первоначального поля. При этом, в частности, выделенная и оставшаяся части оказались одинаковыми по размерам, каждая из них в два раза меньше всего первоначального поля. Части могут оказаться и неравными. Именно поэтому в старом китайском языке 1/3, 2/3 получили названия: «меньшая половина» (шаобанъ), «большая половина» (тайбанъ) по сравнению просто с «половиной» (банъ), которые употребляются в задаче 10 книги VIII «Математики в девяти книгах» и и в задаче 14 последней книги трактата Чжана; или «малая половина» (сяобанъ), «большая половина» (да бань) в отличие от «средней половины» (чжунбанъ), которые употребляются в задаче 28 последней книги трактата Сунь-цзы [100, т. I, с. 230, т. II, с. 318, 384]. Других дробей на первых порах не существовало.
После разделения некоторого поля каждая часть приобретает значение самостоятельной величины, меры. В дальнейшем процесс деления как бы забывается, отодвигается на второй план, остается само понятие половины. Вспомним русские «четверть» (мера емкости), «десятину» (мера площади) и другие меры, получившие самостоятельное значение как нечто новое целое. И лишь этимология этих слов напоминает о том, что они происходят от деления.
Таким образом, чтобы осмыслить половину в качестве дроби 1/2, надо было абстрагировать процесс деления поля ж мыслить его примерно так: нечто целое (единица) (величины могут быть различной природы, теперь уже неважно, одномерные они или двумерные, либо это вообще некоторое количество предметов, но предметов однородных, и т. п.) делится на две равные части, так что каждая из них в два раза меньше целого. Именно при этом получается не «половина», а «одна вторая». Такое понятие дроби становится уже более общим, оно соответ-
118
ствует дальнейшему развитию понятия числа. По природе своей оно алгоритмично, так как деление единицы на части может представляться как регулярный процесс: сначала на 2, далее на Зг на 4 и сколько угодно частей. Такое толкование дроби ниже рассмотрено особо.
Исходное «расширение» области целых чисел совершенно одинаково у всех народов. Во всех языках до сих пор существует слово половина» наряду с «одной второй» (см. табл. 5). Всюду обнаружены также индивидуальные названия для третьих долей (см. эту же таблицу). Что касается других простейших дробей, то разные из них получали собственное имя, здесь у каждого народа был свой выбор. Специальные названия дробей давались и позднее, когда уже существовало более общее понятие дроби, это происходило только в том случае, когда путаница по вопросу о том, какие дроби имеются в виду, совершенно исключалась: так обстояло с римскими весовыми унциями.
Таблица 5 Таблица названий простейших дробей
Дробь Китай Египет Вавилон Греция Франция Рим
V. Половина, средняя половина Половина Половина Половина Половина Половина
V. Малая, меньшая половина Одна часть (вышла из употребления) Специальное название Третья часть Третья
2/з Большая, ббльшая половина Две части Специальное название Две части Специальное название
'/« Малая, меньшая Разламывать Четвертая часть
зи Большая, ббльшая Три части (ПОЗЖе 72 И- '/4) Три части Специальное название
V. 5/в Иногда употребляется специальное название 10 унций, т. е. 10/12
-
'/и Специальные названия для всех долей Специальные названия для '/121 10/12» П\\2
В древнем Китае дроби со знаменателем 12 также имели особые наименования, которыми обозначались деления на зодиаке в календарях V—VI вв. династийных историй [95, т. I, с. 23] (см. табл. 6, содержащую названия из календаря «Цзинчу» в «Истории Сунской династии»). Эти названия в основном скомбинированы из слов шао бань, бань, тай бань, цян, жо. Для китайских водяных часов кэлоу, помимо широко распространен-
