Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для обозначения деления на степень 10, или движения числа вправо по колонкам, употребляется термин туй, буквально «пятиться, отступать» — глагол, обратный движению вперед, цзинъ. Этот термин ясен из решения задачи 21 последней книги трактата Сунь-цзы:
«Имеется 1 пи полотна, стоит 18000 цяней. Спрашивается, сколько стоит чжан, чи, цунь каждый в отдельности?
Ответ: чжан — 4500 цяней, чи— 450 цяней, цунь— 45 цяней.
Способ: установи 18000 цяней, раздели на 4, получишь стоимость 1 чжана. Передвинь [число] на разряд вправо, еще раз передвинь вправо, получишь стоимость чи и цуня» [49, с. 36].
А в аналогичной задаче 8 книги V «Трактата пяти ведомств» употреблены оба термина:
«Имеется полотно, 1 пи стоит цяни: 8 гуев вэней. Спрашивается, сколько стоит 1 чжан, 1 чи, 1 цунь?
Ответ: 1 чжан — 2 гуя вэней; 1 чи — 200 вэней; 1 цунь — 20 вэней.
Способ: расположи цяни, 8 гуев, раздели на 40 чи, получишь стоимость чи. Сдвинь по разрядам вперед, получишь стоимость чжана. Отступи назад, получишь стоимость цуня» [52, с. 93]. Здесь гуй — связка в тысячу монет и 1 гш=40 чи.
Здесь применены соответственно цзин вэй — «двигать по разрядам вперед, т. е. влево, и туй вэй — «отступить на позицию», т. е. «передвинуть вправо».
Умножение дробей выполняется в задаче 21 средней книги и в задачах 12 и 13 последней книги трактата Сунь-цзы. О первой из них мы уже упоминали ранее (см. п. 14), когда приводили пример умножения 319,5-190; в двух других производятся следующие действия:
2374-1,03=2445,22 (задача 12), 369980,7.0,03=11099,421,
и также 11099,421.9=99894,789 (задача 13).
106
Рассмотрим еще одну группу задач, связанную с делением на десятичную метрологическую дробь. В этих задачах вычисляется емкость зернохранилищ для груды ссыпанного на земле у стены в углу зерна — типичные задачи древних, они содержатся почти в каждом древнекитайском трактате. Читатель «Десятикнижья» впервые встречается с ними в книге V «Математики в девяти книгах», где вычисляются объемы разных тел, есть они и у Сунь-цзы. Однако задачи Сунь-цзы и задачи «Математики в девяти книгах» только на первый взгляд кажутся одинаковыми. Если обратить внимание на вычислительную сторону, то мы увидим специальное назначение задач Сунь-цзы. Действительно, в задачах «Математики в девяти книгах» (задачи 23—25 книги V) определяются две величины: объем и емкость — в ответах названы по два числа. Но главное внимание в соответствии с целями этой книги уделяется вычислению объемов. В ответе объем выражен более или менее «круглым» числом: 8000 чи, 350 чи, 35 5/9 чіт, емкости же—как придется: 2962 26/27 ху, 144 8/243 ху, 21 691/729 ху.
В задачах Сунь-цзы главное внимание уделено вычислению емкостей. Величины объемов в ответе не сообщаются, о них и не ставится вопрос к задаче. Числовые данные задачи подобраны так, чтобы «круглыми» числами получились емкости, а не объемы. В двух случаях, по крайней мере, числа упрощены до предела: 2700 ху (задача 12 средней книги трактата Сунь-цзы) и 100 ху (задача 3 последней книги того же сочинения).
При переходе от объема к емкости Сунь-цзы берет метрологическую десятичную дробь «1 чи 6 цуней 2 доли» взамен дроби-коэффициента перехода «1 чи 6 1/5 цуня», употребляемого в «Математике в девяти книгах». Таким образом, у Сунь-цзы все подобного рода задачи на исчисление емкости сводятся в конечном счете к делению на этот дробный коэффициент. Обратим внимание на еще одну подробность: из всевозможных коэффициентов для разного вида зерна, употребленных в «Математике в девяти книгах», Сунь-цзы выбирает самый подходящий для него, указанный выше, не обращая внимания на его назначение (для риса, а не для проса). Процитируем для примера наиболее простую из этих задач:
«Имеется куча проса на ровном месте. Нижний обвод 3 чжана 6 чи, высота 4 чи 5 цуней. Спрашивается, сколько проса? Ответ: 100 ху.
Способ: установи обвод в 3 чжана 6 чи,4 умножь на себя, получишь 1296 чи. Умножь это на высоту в 4 чи 5 цуней, получишь 5832 чи. Раздели это на 36, получишь 162 чи. Выдели ху: раздели на 1 чи 6 цуней 2 доли, получишь [искомое]» [49, с. 34]. В этой задаче 3 последней книги трактата Сунь-цзы мы выделяем последнее действие, оно ясно описано в подробном правиле решения ж не нуждается в комментарии. Подчеркнем только, что числа действительно подобраны так, чтобы облегчить вычисления и не заслонить тем самым содержание задачи.
107
Среди таких задач, последнее действие которых есть деление на метрологическую дробь, находятся такие, где получается или должна получиться периодическая дробь. Например, в задаче 11 средней книги трактата Сунь-цзы для определения искомой величины надо разделить:
86940 : 1,62=53666 ху 666 шэнов 1/3 шэна.
Здесь получается бесконечная периодическая дробь. Вероятно,, не зная, как поступить в таком случае, вычислитель записывает результат деления с помощью обыкновенной дроби. В другом случае в задаче подбираются числа более тщательно, чтобы избежать бесконечного деления. Так, в задаче 11 последней книга трактата Сунь-цзы задано «3999 ху 9 доу 6 шэнов проса», так как каждые 9 доу меняются на 1 ху бобов. Ответ: «444 ху 4 доу» [49, с. 35].
