Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
7 Ученик Улугбека и ал-Каши Али Кушчи был послом Улугбека при китайском императоре. Весьма возможно, что под влиянием китайцев у Кушчи появились термины «положительный» и «отрицательный», о которых будет сказано далее.
99
7*.
На основании этих примеров можно считать, что Лю Хуэй пользуется наименованиями разрядов десятичной дроби, называя их, как следует из другого его комментария, общим термином вэй ту «мельчайшие» в пределах установленных единиц, т. е. до шестого десятичного знака. Такие дроби будем называть метрологическими. Каждый разряд обозначен в них своим названием, которое является названием одной из мер: единицы длины, веса или емкости. В зависимости от выбора целой единицы названия последовательно обозначают десятые, сотые, тысячные и т. д. доли этой единицы. Таким образом, метрологические дроби являются по современной терминологии «дробями с плавающей запятой». Если в выражении Лю Хуэя за основную единицу взять чи, как он и делает, то дробь будет равна 0,130806, если же за единицу взять цунъ, то получится 1,30806.
Как известно, Цзу Чун-чжи через два столетия после Лю еще раз вычислил тс с поразительной для его времени точностью. Чтобы записать это число с семью десятичными знаками, Цзу принял за единицу не чи, а чжан — единицу длины, в 10 раз большую, и получил: «3 чжана 1 чи 4 цуня 1 доля 5 порядковых 9 шерстинок 2 тончайших 7 паутинок».
Очень много метрологических дробей в «Математическом трактате Сунь-цзы». Они применяются всюду: и при формулировке условия задачи, и для выражения постоянных при переходе от одних единиц к другим, и в результатах вычислений. Например, в задаче 16 последней книги говорится:
«Имеется 128940 ху 9 доу 3 гэ проса. [Оно] выдано человеку, [который] покупает шелк [из расчета] 1 пи за 3 ху 5 доу 7 шэнов проса. Спрашивается, сколько [всего он купит] шелка» [49, с. 35]. Метрологической дробью здесь является первое число. Широко-употребляемые единицы емкости ху, доу, шэны дополнены еще более мелкими десятыми долями гэ («коробок» емкостью около 0,1 л), которые на практике, по-видимому, не употреблялись. Они появились в вычислениях как разряд метрологической дроби. Что именно так и обстояло дело, доказывает один характерный пример из того же источника. Остановимся на нем подробнее.
Случилось так, что в «Математическом трактате Сунь-цзы» оказались задачи из «Математики в девяти книгах». Попали они, по-видимому, не случайно. Составитель трактата хотел, вероятно, показать образование десятичной дроби.
«Имеется 7 доу 9 шэнов проса. Спрашивается, сколько станет пшена для князей» [49, с. 29]. Решение просто: из специальной таблицы, помещенной в начале книги II «Математики в девяти книгах», которую читатель трактата Сунь-цзы, очевидно, должен был иметь под рукой, берутся численные коэффициенты проса и пшена для князей: они соответственно равны 50 и 21. Искомая величина вычисляется по правилу
7 доу 9 шэнов с\л 50
100-
Так как в «Математике в девяти книгах» всегда пользуются соотношениями
1 ху =10 доу, 1 доу =10 шэнам,
широко применяемыми на практике, то в пределах этих единиц у китайского вычислителя получается величина: «3 доу 3 шэна 9/50 шэна». Буквально так и записана она в «Математике в девяти книгах». В «Математическом трактате Сунь-цзы» они представляются как «3 доу 3 шэна 1 гэ 8 шао». Чтобы избежать обыкновенных дробей для выражения «остатка», Сунь-цзы использовал еще более мелкие, чем шэны, десятичные доли основной единицы емкости. Сознательность введения десятичных долей у Сунь-цзы видна из того, что эта задача — одна из четырех, составляющих единую группу задач, взятых из «Математики в девяти книгах». В трех предшествующих задачах можно усмотреть «подготовку» к выделению десятичной дроби, в них представлены различные случаи деления целых чисел, когда в результате получается целое число, смешанная несократимая и сократимая дроби. Четвертый случай, случай деления с остатком, представляемым конечной десятичной дробью, является как бы завершающим шагом, логически приводящим к новому математическому понятию.
Всем задачам такого класса на обмен зерна и зерновых культур во второй книге «Математики в девяти книгах» предпосылается общее правило, сводящееся к отысканию четвертой пропорциональной; каждая задача имеет, кроме того, отдельное правило. Эти правила весьма кратки, в них даны лишь указания взять соответствующую часть данной величины. Для задач, которые нас интересуют, части выражены дробями 3/5, 27/50, 12/50, 21/50.
У Сунь-цзы общего правила нет, а частные решения к каждой задаче формулируются отлично от частных правил «Математики в девяти книгах». Данные в задачах величины предварительно, в уме, переводятся в шэны: взято соответственно 10 шэнов, 21 шэн, 45 шэнов и 79 шэнов. Эти количества каждый раз умножаются на соответствующий коэффициент желаемого зерна и делятся на 50. Таким образом, здесь применяется общее правило нахождения четвертой пропорциональной, сформулированное в «Математике в девяти книгах» в общем виде. Расчеты проводятся в шэнах, принимаемых за основную единицу, а в ответе выделяется более крупная единица — доу. В приведенной выше задаче Сунь-цзы, не переводя числа в шэны, выполняет необходимые действия непосредственно над этим числом, принимая его за метрологическую дробь. Будучи последовательным, он и ответ выражает в виде десятичной дроби. Или наоборот, чтобы выразить ответ десятичной дробью, он и заданное число, видя в нем метрологическую дробь, не превращает в целое, как это делал в предыдущих задачах.
