Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
V2
E = -g- g5 -[- II = const (вдоль линии тока). (52)
10 Зак. 1841. Л. Г. Лойшшосий. 146
динами {а идеальной жид сости и газа
[гл. и,
Отдельные слагаемые этой суммы представляют отнесенные к единице массы: 1) кинетическую энергию частицы, 2) потенциальную энергию поля объемного действия сил давления в данной точке потока и 3) потенциальную энергию поля объемных сил. Сумма E этих трех слагаемых представляет, как уже ранее упоминалось, отнесенную к единице массы полную механическую энергию потока в данной точке. Равенство (52) дает следующую формулировку теоремы Бернулли: при стационарном, баротропном движении идеальной жидкости или газа под действием потенциального поля объемных сил приведенная к единице массы полная механическая энергия потока сохраняет постоянную величину вдоль любой траектории или линии тока.
Из уравнения Громека (13) в случае стационарного движения сразу следует постоянство полной механической энергии E также и вдоль любой вихревой линии. Действительно, откидывая в случае стационарного движения первый член и умножая обе части (13) скалярно на Й, получим:
Q . gradE = • grad e) = Q ^ = О,
где dl — дифференциал дуги вихревой линии. Отсюда сразу следует, что вдоль вихревой линии величина E имеет одно и то же значение:
Т/2
const (вдоль вихревой линии). (53)
При стационарном движении вектор, равный произзедению Q X V, образует потенциальное вг.сгорное поле, так как по (13)
rot (QXV) = —rot grad E = O;
при 'этом, как известно, через каждую точку пространства можно провести поверхность, ортогональную к векторной линии, проходящей
через эту точку. Эти ортогональные поверхности будут поверхностями уровня полной механической энергии, так как градиент энергии направлен по нормали к ним. Иными словами, полная механическая энергия сохраняет одинаковые значения на всех поверхностях, ортогональных к вектору Й X V в данной точке, или, что все равно, на поверхностях, касательные плоскости к которым в любой юп'е пространства содержат векторы Й и V. Эти поверхности уровш полной механической энергии можно получить, взяв (рис. 32) какую-нибудь линию тока и проведя через все ее точки вихревые линии; эти вихревые линии образуют вихревую
/ §251
ІЕОРЕМЛ БЕРНУЛЛЙ
14?
поверхность—поверхность уровня энергии, проходящую через данную линию тока.
Можно поступить и иначе: взять некоторую вихревую линию и чепез все ее точки провести линии тока; тогда эти линии тока образуют поверхность тока, проведенную через данную вихревую линию. Следовательно, любые вихревые поверхности, содержащие в себе линии тока или поверхности тока, содержащие вихревые линии, будут поверхностями уровня приведенной к единице массы полной механической энергии стационарного, баротропного потока идеальной жидкости находящейся под действием потенциального поля объемных сил. Резюмируем предыдущие положения так: если в стационарном баро-тройном потоке идеальной жидкости, находящемся под действием потенциального поля объемных сил, поверхность тока совпадает с вихревой поверхностью, то эта поверхность служит поверхностью уровня приведенной к единице массы полной механической энергии потока.
Таким образом, все пространство, заполненное стационарно движущейся идеальной жидкостью или газом, может быть расслоено на поверхности, причем вдоль каждой из них полная механическая энергия имеет некоторое постоянное значение, изменяющееся при переходе от одной поверхности к другой.
Точно так же константы, стоящие в правых частях равенств (52) и (53), имеют в общем случае разные значения вдоль разных линий тока или вихревых линий. Одинаковые значения констант имеют лишь те линии тока, которые проходят через точки одной и той же вихревой линии, или вихревые линии, проведенные через точки одной и той же линии тока.
Значения констант в равенствах (52) и (53) определяются величиной полной механической энергии в какой-нибудь одной, почему-либо характерной или заданной наперед точке линии тока или вихревой линии. Еще раз подчеркнем, что в общем случае константы эти различны для линий тока или вихревых линий, не лежащих на одной и ТОЙ же поверхности ТОл'а, являющейся одновременно и вихрезой поверхностью.
Если во всех точках пространства выполняется векторное равенство
QXV = Oj (54)
то поверхностей уровня нет, но в этом случае, по (13) и условию
стационарности,
grad E=O, (55)
Jj' е~ полная механическая энергия сохраняет одно и то же значение ° eSejil пространстве, занятом потоком жидкости или газа.
Равенство (54) выполняется в следующих двух случаях: ва ^ = = ®— Движение безвихревое-, подробному рассмотрению этого
нейшего случая будут посвящены специальные главы курса;
IQ* 148
динамика идеальной жидкости и газа
[гл. III
2) Q Il V — вихревые линии совпадают с линиями тока; при таком движении частицы в своем мгновенном вращении поворачиваются вокруг касательных к линиям тока. Такое движение называется винтовым С винтовым движением приходится иметь дело при рассмотрении так называемых свободных вихрей, сходящих с поверхности крыла конечного размаха.
