Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
д"Р' д~Р' =O ffi")
Одномерные волновые уравнения (6), (6') или (6") являются классическими уравнениями математической физики. К такого рода уравнениям приводит решение задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня и др. Общее решение каждого из этих уравнений, как известно, можно представить в виде суммы двух произвольных функций:
Л (х—aSH-Z2 (* ¦4- -7Oif),
вид которых зависит от начальных условий задачи. ? 32] влияние интенсивности склчкл HA сжатие глзл
55
Введем новые координаты и связанные со старыми при
помощи равенств:
V = X — a0t, ?" = a0t
Новая ось координат О'к' движется поступательно в сторону положительного направления старой оси Ox со скоростью а0, точно так же ось ОТ' движется поступательно в сторону отрицательного направления оси Ox с той же скоростью а0.
Функция /і (&') в подвижной системе ОТ предсіавляет некоторое, не зависящее от времени распределение возмущений скорости, плотности или давления. Эта фиксированная форма одномерного возмущения (например, синусоида или другая какая-нибудь непрерывная кривая) перемещается, согласно полученному решению волнового уравнения, как одно целое, вдоль положительного направления неподвижной оси Ojc со скоростью а0. Аналогично этому, функция /2(;"), характеризующая определенное, не зависящее от времени распределение возмущений в подвижной системе OrV, представляет вторую фиксированную форму возмущения, отличную, вообще говоря, по своему виду от первой и распространяющуюся также как одно целое в отрицательную сі орону неподвижной оси Ox с той же скоростью а0.
Общая для обеих форм скорость распространения одномерных малых возмущений в неподвижной сжимаемой среде а0 определяется, согласно (4), формулой
С такой скоросіью будет, например, распространяться вдоль цилиндрической, заполненной газом трубы созданное внезапно начавшим двигаться поршнем малое сжатие газа (малый перепад давления). Перемещаясь в виде некоторой продольной волны, сжатие это будет изменять плотность газа; до прихода волны в газе будет сохраняться старое давление, как будто движение поршня не возникало.
С той же скоростью будут распространяться малые колебания давления в жидкости или газе, создающие звук, если считать явление распространения звука баротропным; величина а0, заданная равенством (7), называется поэтому скоростью распространения звука или, короче, скоростью звука.
Согласно общему принципу классической механики, приведенное рассуждение остается верным и в случае жидкости или газа, равноосным состоянием которых является квазитвердое поступательное и равномерное движение. В галилеевой системе координат, связанной с этой квазитвердо движущейся средой, уравнения гидроаэродинамики сохраняют свой вид и все предыдущие выводы остаются справедливыми, если под скоростью распространения Звука всегда подразумевать 156
одномерный ПОТОК идеальной жидкости {гл. lty
скорость по отношению к движущейся среде, а не к неподвижному пространству, в котором среда совершает свое движение.
Если двум равномерным состояниям: покою и квазитвердому поступательному и равномерному движению, соответствуют одни и те же термодинамические характеристики р0, р0 и T0, то скорости распространения звука по отношению к газу в том и другом случае будут одинаковыми. Если же жидкость или газ движутся не квазитвердым образом, то различным точкам потока будут соответствовать различные термодинамические состояния и разные скорости звука, которые в этом случае придется рассматривать, как некоторые местные скорости звука, представляющие функции координат и времени.
Подчеркнем еще раз, что скорость распространения звуковой волны в среде не следует смешивать со скоростью движения самой среды. Так, при покоящемся газе звуковая волна бежит по отношению к газу со значительной скоростью (например, в воздухе со скоростью порядка 330 м/сек), в то время как сам газ при этом остается почти неподвижным.
Подставляя в первое уравнение системы (5) выражение возмущения скорости и' в форме „волны", бегущей в положительном направлении оси Ох:
Uf=Z1 (x — a0t),
получим уравнение
— Po«c/i (X — a0t) = ~а\-,
где точкой над буквой /, обозначена производная по всему аргументу (х — а0(). Интегрируя это уравнение по х, получим:
/,(* —= = (8)
Г0
или в дифференциальной форме еще такое соотношение:
Au = O0^. (8')
Из условия баротропносте процесса распространения малых возмущений (звуковых колебаний) легко вывести соотношение
' а '
р =«ор,
вместе с (8), приводящее к следующему выражению скорости и':
u'=*L.EL (9)
Ро^о Po 1 7
или в дифференциальной форме:
du-M-dJL. (90
Ров® Pu v ? 32] влияние интенсивности склчкл HA сжатие глзл
157
Из равенств (8) и (9) можно заключить, что при данных значениях физических величин в невозмущенном газе изменения скорости движения газа по отношению к неподвижной системе координат Ox после прохождения звуковой волны тем больше, чем больше относительное уплотнение газа
?' P-PQ Po Po
или относительное его сжатие
