Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В идеальном газе непрерывное адиабашческое движение является вместе с тем и изэн тропическим, так как при отсутствии внутреннего і рения и теплопроводности все процессы в нем обратимы.
Можно вывести общую формулу для зніропии совершенного газа, если в правую часть равенства (24) подставить выражение Jdq из уравнения первого начала термодинамики
Jdq =. Jcv dT~f р dv == Jcv dT + pd = Jcv dT — ? dp
и разделить обе части таким образом полученного равенства на T; тогда получим
P
"'И, Шіечая еще, чю на основании (17)
Jc, 1 R ~ k — V 136
динамика идеальной жидкости и газа
[гл. III
найдем искомое выражение для бесконечно малого приращения энтропии
= (25>
откуда интегрированием получим
5 = ^ln (J)+const. (26)
Значение константы здесь не существенно, так как приходится иметь дело лишь с приращениями энтропии, а не с абсолютными ее значениями.
Из уравнения (26) вытекает вновь, что адиабатическое движение идеального газа, подчиняющееся соотношению (23), является изэнтро-пическим. Соотношение (23) можно было бы назвать изэнтропической адиабатой или, короче, изэнтро/гой
§ 22. Эйлерово представление конвективного изменения объемного интеграла. Перенос величины сквозь контрольную поверхность
Рассмотрим движение некоторого индивидуального жидкого объема т с поверхностью о. К такому объему, представляющему систему материальных жидких частиц, можно применять общие законы сохранения массы и энергии, теоремы об изменении количеств движения, моментов количеств движения, кинетической энергии и др. При составлении выражений изменения со временем соответствующих величин приходится вычислять индивидуальную производную от объемного интеграла, представляющего эгу величину. По предыдущему, индивидуальная производная может быть представлена как сумма локальной производной, учитывающей нестационарность поля дифференцируемой величины, и конвективной производной, характеризующей неоднородность поля.
Эйлеру принадлежит общепринятый в настоящее время прием выражения изменения некоторой величины в объеме через перенос этой же величины сквозь поверхность, ограничивающую объем (об этом уже упоминалось в § 11).
Условимся в дальнейшем называть „контрольной поверхностью соответствующей некоторому движущемуся индивидуальному жидкому объему, неподвижную в пространстве поверхность, ограничивающую рассматриваемый движущийся объем в данный момент времени. Кон-1 рольная поверхность представляет зафиксированную мгновенную форму поверхности тела в пространстве. Перемещаясь в пространстве, деформирующийся жидкий обьем в каждый данный момент времени протекает сквозь собственную контрольную поверхность, соответствующую рассматриваемому моменту времени. эйлерово изменение интеграла
137
Введем понятие о переносе физической величины сквозь замкнутую или разомкнутую поверхность а. Возьмем в пространстве, заполненном движущейся средой, элементарную площадку da с ортом нормали п, направленным в положительную сторону площадки. Произведение ф V da физической величины Ф, безразлично скалярной, векторной или"тензорной, на секундный расход среды сквозь площадку da определяет перенос величины Ф сквозь площадку da, а интеграл J Ф Vn da —
о
перенос той же величины скозь поверхность о.
Полагая, например, Ф равным отнесенному к единице объема век-гору количества движения pV, получим вектор переноса количества
движения сквозь поверхность о, равный интегралу J pVVn da.
в
Протекающую сквозь поверхность о секундную массу среды J pVn da
а
можно рассматривать как перенос плотности р через поверхность о; С V2
величину 1 р ~2 Vn da —¦ как перенос кинетической энергии и т. п.
а
Докажем теперь, что конвективное изменение интеграла от некоторой величины, взятого по движущемуся объему, равно переносу той же величины сквозь „контрольную" поверхность, ограничивающую этот объем в данный момент времени.
Для доказательства поступим так же, как в § 11 при выводе формулы Остроградского, а именно, разобьем выбранный объем на большое число элементарных трубок тока и для каждой из них (см. рис. 9) подсчитаем секундное конвективное изменение объемного интеграла от рассматриваемой величины Ф. Для этого, отвлекаясь о г локального
изменения ~ j ф dx, составим разность интегралов по смещенному
к моменту t-\~dt к первоначальному в момент t объемам:
J Ф dt— f Ф dt. (27)
A'D'C'B' ADCB
Эта разность интегралов, в силу непрерывности Ф, можеі быгь с точностью до малых высшего порядка приведена к разности таких двух величин:
Ф2 • объем CC'D'D - Ф, • объем АА'В'В, (28)
так как при вычислении конвективного изменения следует отвлечься °т нестационарности и сократить интеграл по общему для уменьшаемого и вычитаемого в разности (27) объема A'DCB'. Искомое секундное конвективное изменение интеграла, распространенного по объему элементарной трубки, будет равно:
Фа V2n da2 — Фі Vtn, doa = фв V2n da2 + Z11Vln dav 138
динамика идеальной жидкости и газа
[гл. III
Суммируя эги секундные конвективные изменения по всему объему T с поверхностью а, получим полное секундное конвективное изменение объемного интеграла в виде
