Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
M = J р Vn do = const. (34)
а
Величину М, по аналогии с величиной потока вихря сквозь любое сечение вихревой трубки (вторая теорема Гельмгольца, гл. I, § 12), можно было бы назвать интенсивностью трубки тока.
Закон сохранения массы, не связанный, как видно из приведенных выводов, с представлением об идеальности жидкости, справедлив и в случае неидеальной жидкости.
Закон сохранения энергии в случае стационарного, адиабатического движения идеальной жидкости при отсутствии объемных сил, согласно равенству (18') и принятому эйлерову представлению, можно записать в интегральной форме так:
J р (JcpT+ Щ Vn do = 0. (35)
- а
Применяя этот закон для элементарной трубки гока, так же как и в случае закона сохранения массы, получим:
P1^i (ад+"?) ^ = P^ (-^7W-г) do2, (36) эшшрова форм* основных законов
141
(37)
или, учитывая равенство (32):
і + -тр = JcpI2-|-
Это равенство ничем не отличается от закона сохранения (20).
Теорема об изменении количества движения жидкого объема уже применялась в предыдущей главе при выводе основного уравнения динамики жидкости; равенство (24) гл. II в случае стационарного движения идеальной жидкости может быть в эйлеровом представлении написано в форме
JpFdt- Jpndo— JpWn da = 0. (38)
Tffff
Последний интеграл, взятый с отрицательным знаком, можно трактовать, как перенос количества движения через поверхность о, направленный внутрь объема т. Действительно, орт внешней нормали п направлен наружу объема, так что, если в некоторой точке поверхности вектор скорости V направлен также наружу объема (Vra > 0), то элемент интеграла —рVnV da направлен внутрь объема; если же вектор V направлен внутрь объема, то Vn < О и элемент интеграла направлен в ту же сторону, что и вектор V, т. е. опять внутрь объема.
Равенство (38) дает следующую формулировку теоремы об изменении количества движения: если в стационарном потоке идеальной жидкости выделить некоторый объем, то сумма главного вектора объемных сил, приложенных к выделенному объему, главного вектора сил давления, приложенных к его поверхности, и переноса количества движения через эту поверхность, направленного внутрь объема, равна нулю.
Применим равенство (38) к объему элементарной трубки тока между Двумя ее ортогональными сечениями (рис. 31): 1) do1? где скорость равна V1, плотность P1, давление ръ орт внешней нормали п1; и * ^? где, соответственно, скорость равна V2, плотность р2, давление р2 и орт внешней нормали п2. Тогда, выделяя из общего поверхностного интеграла сил давления интеграл по боковой поверхности Рубки аб№ и замечая, что перенос количества движения сквозь боковую поверхность трубки равен нулю, получим:
J PF dx — J рп da-~pini dCi _р2„2 ^Jrh ^V1 do, -р2 K2V2 do2=0, (39)
Рис. 31. і 42
ДИНMvlИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСШ Й ГА1\
[гл. IH
или, произведя замену:
V1 = -Vr1H1, Vs= V2n2, (40)
найдем следующую, важную для дальнейшего, форму уравнения количеств движения для элементарной трубки тока при стационарном движении идеальной жидкости (газа):
J pF dx — J р н da — (рх Pl Vi) H1 dat — (р2 + Рз Vt) n2 dcs = 0. (41)
T а
бов
Предполагая наличие в поле скоростей поверхностей, ортогональных к линиям тока, просуммируем равенства (41) по всем элементарным трубкам, составляющим некоторую трубку конечной ширины; получим уравнение копичеств движения для любой трубки конечной ширины:
JpFdx-Jpnda— J (р-f р I/2) n da— J (/>-j-р V2) n da = 0, (42)
cW
где O1 и O2—-два ортогональных к линиям тока сечения трубки.
Интеграл давлений по боковой поверхности трубки выделен особо, так как в приложениях этот интеграл имеет самостоятельное значение (главный вектор сил давления на стенки канала, по которому течет жидкость, и др.).
Элементарные приложения формулы (42) к вычислению реакции струи, давления жидкости на стенку и др. приводятся обычно в курсах теоретической механики и гидравлики; специальные приложения этой формулы будут часто встречаться на протяжении следующих глав.
Принимая во внимание сделанное в конце § 22 примечание о возможности применения эйлерова представления конвективной производной в том Случае, когда внутри объема, ограниченного контрольной поверхностью, имеются поверхности разрыва интегрируемой величины, можем заключить о применимости в этом случае и эйлеровых форм законов сохранения массы и энергии, а также теоремы количеств движения.
Аналогичным путем найдем формулы, соответствующие при стационарном движении идеальной жидкости теореме об изменении момента количеств движения:
J (г X pF) dx — J (г X пр) do — J (г X P VnV) do = 0 (43)
T с я
и для элементарной трубки тока:
J (г X pF) dx — J (г X np) da—(pi + pi Vi) T1 X nj doj —
бок
— (Ра + P2 43 г2 X H2 da2 = 0, (44)
где векторы г, и г2 представляют векторы-радиусы центров тяжестей нормальных сечений dol и da2 трубки тока. P-
$ 241 '1eopi-ma on измпіении кинетической эньргии 143
§ 24. Теорема об измеиении кинетической энергии. Работа и мощность внутренних сил. Эйлерова форма уравнения изменения кинетической энергии
