Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Лойцянский Л.Г. -> "Механика жидкости и газа" -> 48

Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа — Москва, 1960. — 676 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkostiigaza1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 231 >> Следующая


(8)

Для дальнейшего наибольший интерес представляет случай, когда объемные силы имеют потенциал П и движение ба от опно, т. е. ^ 20] vpumi ими движения идеальной жидкое пі 124

ения

р

существует функции давлеї

і

Po

при выполнении этих условий будем иметь:

J grad P = grad § (9)

и уравнение Громека (8) перейдет в следующее:

-g- + grad(J^+^+n) + rotVXV=0. ?10)

Введем обозначения:

Е = + (И)

Й = rotV. (12)

Величину Е, равную сумме приведенных к единице массы кинетической энергии среды и потенциальных энергий силовых полей объемного действия сил давлений и собственно объемных сил, можно было бы назвать приведенной к единице массы полной механической энергией. Величину E не следует смешивать с ранее введенной лагранже-вой функцией L.

Уравнение (10) может быть представлено в более краткой форме

так

-g-+gradE + QXV = 0, (13)

или в проекциях на декартовы оси:

ди . дЕ , „ _

йг+SF+tV8r—Q'v ^0'

W+ly+2^ -2^ = 0, dw , дЕ , ^ „ -

+QxV-QyU = 0.

(14)

Уравнение (13) или его аналитическое представление (14) связывает чисто кинематические величины V и Q = rot V с динамическими характеристиками силовых полей П и Переписывая это уравнение в форме

^- + SXV = -gradE,

видим, что при баротропном движении идеальной жидкости или газа, независимо от характера и физической сущности действующих

9 Зак. 1841. Л Г.

ЛоТіцянский. 130

динамика идеальной жидкости и Газа

і гл. ш

силовых полей объемных и поверхностных сил, левая, чисто кинематическая, часть этого равенства представляет потенциальный вектор. Следовательно, не всякое поле скоростей может быть создано в баро-тропно движущейся идеальной жидкости под действием потенциального поля объемных сил, а только удовлетворяющее равенству

rot(^ + ?iXV) = 0,

или, что все равно,

^ + IOt (QXV) = O.

Раскрывая дифференциальную операцию вихря от векторного произведения по правилу векторного анализа:

rot (Й X V) = (V • V) Q — (Q . V) V + Q div V — V div Q

и откидывая в этом равенстве последний член, как тождественно равный нулю, будем иметь

5 +(V-V)Q = (Q-V) V-QdivV.

Вспоминая, наконец, определение индивидуальной производной по времени, получим

^ = (Q-V)V-QdiW.- (15)

Уравнение это, составленное для частного случая несжимаемой жидкости еще Гельмголыдем, было указано известным советским механиком А. А. Фридманом и названо им уравнением динамической возможности движения. Итак, при принятых ограничениях оказываются возможными только поля скоростей, удовлетворяющие уравнению (15). Само собой разумеется, что поля скоростей, полученные в результате интегрирования уравнений движения, будут удовлетворять уравнению динамической возможности (15); важно, что, не решая основной системы уравнений динамики, можно наперед указать общее условие, связывающее кинематические элементы движения.

Другой важный физический смысл уравнений динамической возможности движения (15) будет указан позднее в связи с динамикой вихревых движений.

Полагая в уравнениях Эйлера или Громека вектор скорости равным нулю, вновь получим указанные в предыдущей главе уравнения равновесия, являющиеся, естественно, частным случаем уравнений движения; подчеркнем еще раз, что уравнения равновесия верны не только для идеальной, но и для любой реальной жидкости или газа.

В случае баротропного движения уравнения движения (13) или (14) не содержат явно плотности, так как плотность исключается при помощи ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

131

уравнения баротропного процесса. Этот факт не представляет специфического преимущества уравнений Громека; уравнения Эйлера в случае баротропного движения также могут быть переписаны в векторной форме:

-f-(V • V) V = F—grad §

или, в проекциях, в ввде системы уравнений:

ди . ди , ди , ди „ д§

-JTT -Из— і- V з--[-да-з- = /7,, —

dt 1 дх 1 ду 1 дг 1 дх' dv , dv , dv і dv „ д§

dt 1 дх 1 ду 1 дг z dz * не зависящих явно от плотности.

§ 21. Закон сохранения энергии в движущейся идеальной

жидкости. Адиабатическое движение. Сохранение энтропии

В основе явлений вязкости и теплопроводности лежит один и тот же механизм молекулярного переноса: в первом случае — количества движения, во втором — кинетической энергии хаотического движения молекул. Естественно поэтому, приняв модель идеальной жидкости, как жидкости без трения, отказаться одновременно и от теплопроводности, сохраняя возможность наличия других видов теплопередачи (например, лучеиспускания). -

Изложенный в предыдущей главе общий закон сохранения энергии в применении к совершенному идеальному газу будет иметь следующую интегральную форму:

Ij P (jcvT+ ?) Л = JpF ¦ V dt - Jpn . V da+Jpjq dx. (16)

г тої

Вспомним основную в термодинамике совершенного газа формулу связи между теплоємкостями газа ср, Cv и газовой постоянной

J(Cp-Cv) = R. (17)

Формула (17) легко-выводится из определения теплоемкости при постоянном давлении ср, как отношения элементарного приращения отнесенного к единице массы.газа количества тепла q к приращению температуры при сохранении постоянного давления
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 231 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed