Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
— — I dv- I dv P 1 dP
dE.__dw, dw. dw . dw r, I dp 126 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [гл. III
Уравнения (5), (5') или (6) представляют различные формы уравнений Эйлера динамики идеальной жидкости или газа.
Вектор ^— -J grad pj , стоящий в правой части (5) и равный
Iim -Л- — ро do,
1
Дт-іо Pm
согласно терминологии предыдущей главы, представляет отнесенный к единице массы главный вектор сил давления или иначе силу объемного действия давлений в данной точке. Вектор F дает, как обычно, отнесенную к единице массы собственно объемную силу.
Движение идеальной жидкости можно исследовать также в лагранжевых переменных t, а, Ь, с (§ 8). Для этого заменим в уравнениях Эйлера ускорение на его лагранжево выражение:
dV а2
r(t\ а, Ь, с),
dt дР du_д~х dv_ д2у dw_д2г
~dt ~dW' ~dt~~W' ~dt~"W
и перепишем уравнения так:
д-х _ _J_ dp dfi ~ х р дх '
JQL-F -L*P
дР '¦> р ду'
El^f
~ z р дг '
Будем предполагать, что Fx, Fy, Fz, так же как и р, рассматриваются как сложные функции t, а, Ь, с через х, у, г. Умножим обе части первого уравнения на ~ , второго на — , третьего на и сложим между собою. Тогда, вводя обозначения:
дх д V дг
Qa ft a,b, с) = Fx ^+ Fy-^ l Fz-,
Ъх д у Qb(t; а, Ь, с) = 7^ Ж + FV Ж + Fz ~db '
дх д у dz Qc(t; а, Ь, с) ^= Fx+Fv+Fz-^-,
и замечая, что по формулам производной от сложной функции: др дх^,др_ ду . др дг _ др дх ' да * ду ' да дг да ~ да ' др дх др_ ду,др_ дг _ др дх "Ш> + ду "Ш> + дг ' db ~ db '
др_ дх_ , др_ ду . др дг др дх"дс~Тду'дс дг'дс~дс' ^ 20] уравнения движения идеальной жидкости 127
получим, повторяя указанную операцию умножения уравнений Эйлера на дх и J^x.,... с последующим сложением левых и правых частей уравнений, уравнения динамики идеальной жидкости в лагранжевой форме:
д-х дх д2у ду^ d*z_ ^L—n__1 ^p
~W' да + дР ' да + дР ' да ~ Qa р да
дР ' дЬ 1 дР ' db + дР ' db ~ Qb р db
д-х дх , д">у ду^ , № дг_ ___1 др
дҐг ' де ~г дР ' де + дР" дс р дс "
(7)
Рассматривая переменные Лагранжа а, Ь, с, как криволинейные координаты точки М(х, у, г), можем придать величинам Qa, Qb, Qc смысл приведенных к единице массы обобщенных объемных сил, величинам---
__L ^JL,--L-ЁЁ.— приведенных к единице массы обобщенных сил объем-
P db P дс
ного действия давлений; выражения, стоящие в левых частях уравнений,
дгт
представят, с этой точки зрения, проекции ускорения V = -^g- на оси криволинейных координат а, Ь, с в точке M (х, у, г), умноженные на соответствующие параметры Ляме = (? + + и др. Поскольку в уравнениях (7) неизвестными являются функции: х (t; а, Ь, с), у (f; а, Ь, с), г (f; а, Ь, с) и р (t; а, Ь, с),
то направления криволинейных осей наперед не известны, поэтому дальнейшие преобразования, аналогичные тем, которые в теоретической механике производят при составлении уравнений Лагранжа второго рода, не представляют интереса.
Отметим, что при наличии потенциала объемных сил 11 (/; х, у, г) = = II (f; а, Ь, с) и функции давления § (f; а, Ь, с) уравнения (7) полезно еще преобразовать дополнительно, представляя левые части по формулам
л Vafda+-J LafaAaay+--J-
— — (^L ЇЇ?. о. \ Г а* а (дх\ 1 _ ~ dt\dt да+ •") Laf да \dt J+ '"J-
afVafaa+"V да 2 [Uf) + ""J-
а ( дх , ду . дг\ д
и замечая, что:
о__ап _ an __ail
Wa~ да' --db' де'
Jt_др__д§_ 1 др __д§
р да ~ да ' р db ~ db' р dc ~ дс ' 128
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. III
будем иметь:
JL dt
JL dt
( дх , ду , dz\ д /V2
( дх , ду . dz\ ("? + 9? + ffl?) д ( дх , Jv , dz\
ж [uw+v Ж+ W)
JLfYl дЬ V 2
ас I 2 '
-S1-п
az.
де
(7')
Выражение Z., стоящее в скобках справа, представляет разность приведенных к единице массы кинетической энергии движущейся среды и суммы потенциальных энергий силовых полей объемного действия сил давления H внешних объемных сил. Это выражение может быть названо приведенной к единице массы лагранжевой функцией или кинетическим потенциалом, а интеграл этой величины за некоторый интервал времени (t0, t)
t
A= J Ldt
— приведенным к единице массы действием.
Уравнения (7'), после интегрирования их по времени в интервале (t0, t) могут быть приведены к виду:
СП
Уравнениям Эйлера можно придать иной, полезный для дальнейших выводов, вид, указанный впервые казанским профессором И. С. Гро-мека (1851—1889). Для вывода этого уравнения выделим в левой части уравнения Эйлера (5') из выражения конвективного ускорения потенциальную часть. Вспомним легко проверяемую по проекциям общую формулу векторного анализа
grad (а • b) = (Ь • V) а + (а • V) b + b X rot a + а X rot b
дх да -f-w dz da — Щ дх0 da -V0' dy0 да
dx ¦+•Й- -f-w dz -U0 dx0 дУо
W db db aO db
dx де -f-w dz Ж -U0 dx0 dc -V0 дур dc
dz0 dA
~ да '
dz0 -Slri= Il
dz0 Il Sjg
и положим в ней: а
b = V; тогда получим: 4f) = (V • V) V -j- V X rot V.
Пользуясь этим общим векторным соотношением, придадим уравнению Эйлера (5') форму уравнения Громека
дУ
dt
-f grad (? + rot VXV = F- J grad р.
