Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
^max = V
^rain =V
4*1
Таким образом, измеряя по шкале, помещенной на внешней поверхности стеклянного цилиндра, полную глубину воронки в жидкости
, _ , Ш2Я2
^mov "rTt
можно определить угловую скорость вращения цилиндра, т. е. использовать прибор, как тахометр.
В качестве другой иллюстрации применения выведенного условия равновесия, рассмотрим вопрос о фигуре равновесия вращающегося объема однородной жидкости, тяготеющей к неподвижному центру силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра.
Примем (рис. 28) ось г за ось вращения и начало координат О за центр притяжения. Потенциал сил тяготения, отнесенных к единице массы жидкости,
будет равен гДе С— некоторая константа, г = ><лх2~у'1 -j-z1 — рас-
стояние частицы жидкости M от центра тяготения — начала координат О. Потенциал центробежных сил, отнесенных к единице массы жидкости, будет по предыдущему равен
К
скорость объема.
¦г С
где <0 -
вращения
- jHfl + yt
- угловая жидкого
• расстояние жидкой частицы от оси вращения Oz. Условие равновесия вращающейся жидкости, если отвлечься от сил взаимного тяготения между частицами, будет по (80)
p-а.
г
¦ const, (82)
а Уравнение свободной поверхности, ограничивающей враща-
по4!™!)0^1'™ жпдкости от окружающей его среды другой плотности, будет
? г
const.
(83) 116 ОСНОВНЫр УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ fl-Л. 11
Это уравнение и дает искомую форму поверхности фигуры равновесия, тяготеющей к центру жидкости при вращении ее вокруг неподвижной оси. Имея в виду приложения формулы (82) к вопросу о форме Земли, представляющей в грубом приближении вращающуюся однородную жидкость, тяготеющую к центру, зададим ускорение g0 тяготения масс на полюсе, находящемся на расстоянии г0 от центра Земли, тогда будем иметь:
T=S0' C = roSo>
rO
и уравнение поверхности фигуры равновесия будет
-j- -j--2— = const -
причем const определяется из условия, что на полюсе: г = r0, г* = 0, откуда следует
g0r0 = const.
Окончательное уравнение свободной поверхности будет иметь вид gA JL
-Г-+ -о-=SOrO (84)
или, вводя полярный угол В,
SorI
: gffQ. (85)
Если бы Земля не вращалась (ш = 0), уравнение свободной поверхности свелось к равенству
г = г0
и фигурой равновесия служила бы сфера. За счет весьма малого вращения,
совершаемого Землей =—^y фигурой равновесия служит тело
вращения, представляющее несколько сплющенную у полюсов сферу — сфероид, уравнение поверхности которого (85) может быть в силу малости безразмерной величины
со
Iro
приближенно представлено так:
% ( Ir, у 4• IO7 1 ^nrom ^T = \24 • 60 • 60/ • ¦ W - °'0034'
Отсюда легко найти относительную сплюснутость Земли
fronx — rmill _ 1 1
^in 2 g0 600-
Геодезические измерения приводят к величине в два раза большей. Такое расхождение теории с опытом объясняется грубостью принятого приближения об однородности Земли и, что самое главное, неучетом взаимного притяжения частиц, изменяющего в корне самый закон притяжения к центру. При ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА
117
этом закон притяжения частиц становится зависящим от самой формы относительного равновесия вращающейся жидкости, что делает строгое решение задачи весьма сложным. Наряду с решением задачи о разыскании равновесных фигур вращающейся жидкости встает вопрос об устойчивости равновесия этих фигур, так как только устойчивые фигуры могут существовать в действительности.
Проблема разыскания устойчивых форм вращающихся жидких объемов способствовала развитию многих теоретических вопросов математики и механики, особенно же теории потенциала и общего учения об устойчивости движений. Мировую известность приобрели работы в этом направлении создателя современной теории устойчивости движения академика А. М. Ляпунова (1857—1918), который нашел бесчисленное множество фигур равновесия вращающейся жидкости, близких к эллипсоидальным, открытым ранее в 1742 г. Маклореном (эллипсоид вращения) и в 1834 г. Якоби (трехосный эллипсоид). А. М. Ляпунов исследовал также фигуры равновесия вращающейся неоднородной жидкости, что особенно существенно для проблем космогонии.
Результаты А. М. Ляпунова оставили далеко позади все что было сделано в том же направлении зарубежными учеными и в том числе известным французским математиком А.'Пуанкаре (1854—1912).
Ряд классических задач теории устойчивости вращающихся жидких масс был разрешен также нашими великими соотечественниками: П. Л. Чебыше-вым, Софьей Ковалевской и В. А. Стекловым.
§ 19. Давление тяжелой несжимаемой жидкости на поверхность тела. Сила и момент, приложенные к телу, плавающему в тяжелой жидкости. Случай вращающейся жидкости
Главный вектор и главный момент сил давления жидкости на некоторую твердую поверхность а определяются интегралами (п — орт нормали к поверхности а, направленный внутрь жидкости)
R = -Jnр da, L=-JrXnpda, (87)
и а
причем поверхность о, вообще говоря, незамкнута. В частном случае тяжелой жидкости, заменяя давление р его выражением (78'), получим:
