Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
J Di \ Pdx
і
¦—главный вектор поверхностных сил, приложенных к замкнутой поверхности о, ограничивающей конечный объем т, причем по (24) и (12):
J DivPtft= Jpndo = J nPd6.
і а а
Отсюда вытекает формула
J nPdi = J Div Prft, (32)
о т
верная для любого тензора 2-го ранга и представляющая тензорное обобщение формулы Остроградского [(66) гл. IJ.
Задаваясь той или другой координатной формой элементарного объема Lx, можно по формуле (31) найти координатное представление вектора DivP. Так, например, примем за Дх декартов прямоугольный параллелепипед со сторотми Ах, Ay, Az, тогда, поступая аналогично тому, как это уже неоднократно делалось в предыдущей главе (например, в § И), будем им?ть:
UPJtI^p. Дг—kpj йхйу 4;To ' AxAyEz
. д(]р) . а (кя).
^a д* ду ' дг '
чо по основному равенству (12), верному для любого наклона площадки, и, в частности, при п = і, и = j и n = k:
ІР = Рж, JP = Py, kP = ps,
следовательно, в декартовой системе координат:
DivP = ^+^ + ?-* (33)
дх ~ ду ^ Bz к '
і Зак. 1841. л. г. Лвёцянский.
ГИи D _ ijm
ОСНОВНЫЕ УРABHFHHfl ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ |ГЛ. И
или в проекциях:
/ТЧ» г44 '* t^vu »
(DivP)a
(Div P)v (DivP)a
дх 1 ду і I dz
дРху . , dPw , dPzy
дх 1 1 ду 1 dz
dPxz дРу* . Au I dpzz Ґі•»
(33')
Формула (33) с внешней стороны несколько напоминает выражение дивергенции вектора в декартовых координатах [формула (63') гл. IJ:
aiva дх + ду + dz '
однако сходство это чисто внешнее. Действительно, в формуле дивергенции тензора (33) под знаком производных стоят зависящие от выбора системы координат векторы Pa,, р„, ps напряжений, приложенных к площадкам, перпендикулярным осям х, у, г, а сама величина Div P представляет физический вектор-, в формуле же дивергенции вектора diva под знаком производных стоят алгебраические величины проекций вектора a, a diva представляет физический скаляр.
Полученные формулы дивергенции тензора несколько трудны для запоминания; в связи с этим можно предложить простое символическое их выражение, основанное на символическом равенстве:
DivPe= УР, (34)
где справа стоит произведение условного „вектора"-оператора У
с проекциями J-, J^ на тензор Р. Применяя формулы (20) гл. I
умножения вектора на тензор, без труда составим проекции (330 DivP на оси координат; для целей запоминания, наряду с формулой (34), можно предложить еще формулу (33), легко запоминающуюся по своей внешней аналогии с формулой дивергенции вектора.
Интегральная формула (32) допускает символическое представление:
JnPrio = fvPdx. (35)
CT t
„Пользуясь введенным понятием дивергенции тензора, можем представить основное уравнение динамики сплошной среды (28) в форме
AV
PlF = PF + DivP. (36)
Применение к объему т теоремы об изменении момента количества движения приводит к выполнению уже ранее выведенных соотношений взаимности касательных напряжений или, что все 15] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
равно, к симметричности тензора напряженности. Действительно, теорема об изменении главного момента количеств движения может быгь записана так:
^J TXpVrix=J rXpFrfr+J rXpnda,
(37)
где г—вектор-радиус центров элементарных объемов dx и площадок do, к которым приложены векторы количеств движения, массовых внешних сил и внешних напряжений.
Объемный интеграл, стоящий слева, равен
|J Г X р V * = J § X PV * + J г X P § * + J г X VI (Р Л).
-ct T T
Первый интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль, так как ~ = V, последний интеграл равен нулю по условию сохранения массы элемента жидкости (15), так что будем иметь:
IJrXpVdT=JrXp^dT. (38)
X T
Далее, поверхностный интеграл, стоящий справа в формуле (37), легко по предыдущему преобразуется в объемный. По (9) будем иметь:
J (Г X Pn) da = J г х (пх Px + IIllPy + пгрг) da =
а а
= f \пх (г X Pr) + % (г X ру) -!'- Uz (г х P.s) I da,
а
откуда по формулам (26) следует:
О T
Г N . /dPa, дру дрл
t
% , или, замечая еще, что
дг _ .
d* К'
7«- 100
ОСНОВНЫр УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
fl-Л. 11
будем иметь:
JfrXM*-Лгх(?+?+?)]<.+
а X
+ J [(і X Px) + OX ру) + (к X P2)] dt. (39)
Собирая теперь вместе результаты преобразований, представленные формулами (38) и (39), можем переписать основное уравнение моментов (37) в виде:
f v/ ^ Фа, dpj, др,\
%
= J t(i X Рж) + QX P2,) + (к X P2)] dx. (40)
T
Интеграл, стоящий слева, равен нулю, так как по (28) равно нулю выражение, стоящее в скобке под знаком интеграла; отсюда, в силу произвольности объема интегрирования в правой части, получим:
(і X Pe) + О X ру) + (k X Ps) = 0,
после чего проектированием на оси координат нетрудно вновь получить равенства (14), выражающие симметричность тензора напряженности или теорему о взаимности касательных напряжений. Только что изложенное доказательство является не зависящим от приведенного в предыдущем параграфе и основанного на использовании частного вида объема — элементарного тетраэдра. Если же принять предыдущее доказательство и считать теорему о взаимности касательных напряжений уже доказанной, то применение теоремы моментов к конечному объему приводит просто к тождеству, т. е. нового уравнения динамики не дает-
